在处理公司和个人解除劳动关系的赔偿问题时，我们需要根据具体情况来详细分析。以下是对不同情形下公司解除劳动关系所需承担的赔偿责任的详细解答：

一、公司无需支付赔偿的情形

如果劳动者存在以下过错，公司有权解除劳动合同且无需承担经济补偿责任：

1. 在试用期间不符合录用条件；
2. 严重违反公司的规章制度；
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
4. 同时与其他公司建立劳动关系，对本职工作造成严重影响或拒不改正；
5. 通过欺诈、胁迫手段或乘人之危，使公司在违背真实意愿的情况下订立或变更劳动合同；
6. 被依法追究刑事责任。

二、公司需支付经济补偿的情形

在以下情形中，公司解除劳动合同时应向劳动者支付经济补偿：

1. 双方协商一致解除：当公司与劳动者协商一致解除劳动合同，且由公司提出解除动议时，公司需支付经济补偿。

2. 劳动者无过错解除：

   • 劳动者因病或非因工负伤，在医疗期满后无法从事原工作，也无法从事公司另行安排的工作；
   • 劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后，仍不能胜任；
   • 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，导致劳动合同无法履行，且双方未能就变更劳动合同内容达成协议。

3. 经济性裁员：

   • 公司因企业破产法规定进行重整；
   • 生产经营发生严重困难；
   • 公司转产、重大技术革新或经营方式调整，导致需要裁减人员；
   • 其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行。

经济补偿的计算标准：

• 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
• 若劳动者月工资高于所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。这里的“月工资”指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

如果公司违反《劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，例如无故解雇或在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除的期间解除劳动关系，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

额外注意事项：

• 如果公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。

综上所述，公司在解除劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。这既有助于维护劳动者的合法权益，也能确保公司的合法运营和稳定发展。希望这些解答能对您有所帮助，如果您还有其他问题，欢迎随时咨询。