在我国现行法律框架下，并没有直接规定“爷爷与孙女间的陪伴权”这一具体权利，但可以从亲情关系维护、探望权延伸及监护权等角度进行理解和分析：
亲情关系维护的角度：
- 爷爷与孙女之间基于血缘关系形成的亲情，是家庭关系中的重要组成部分。虽然法律没有明确规定陪伴权，但家庭成员之间有相互关爱、照顾和陪伴的道德义务。爷爷有权与孙女保持亲密的亲情关系，孙女也有权享受来自爷爷的关爱和陪伴。
- 在实际生活中，爷爷可以通过经常看望、关心孙女的生活和学习情况、参与孙女的成长活动等方式，来维护和增进与孙女之间的亲情关系。
探望权延伸的角度：
- 在离婚案件中，如果父母离婚，不直接抚养子女的一方享有探望子女的权利。这一权利虽然主要针对父母与子女之间，但在某些特殊情况下，如父母双亡或父母无力抚养等，爷爷作为孙女的近亲属，可能在一定程度上享有类似探望的权利，以维护与孙女的亲情联系。
- 然而，这种权利并非法律明确规定的“陪伴权”，而是基于亲情关系和实际需要的一种延伸。在具体实践中，需要综合考虑多种因素，如孙女的意愿、爷爷的身体状况和经济能力等。
监护权的角度：
- 如果孙女的父母双亡或父母无力抚养，且没有其他合适的监护人，爷爷作为孙女的近亲属，有可能成为孙女的监护人。作为监护人，爷爷将承担抚养、教育和保护孙女的法律责任，这自然包括陪伴孙女成长的责任。
- 在这种情况下，爷爷的陪伴权将得到法律的明确保障。但需要注意的是，成为监护人需要满足一定的法律条件，并经过法定程序进行确认。
法律建议：
- 如果爷爷希望与孙女保持更紧密的亲情关系，建议通过积极沟通、参与孙女的生活和学习等方式来实现。同时，也可以与孙女的父母进行协商，共同为孙女的成长创造良好的家庭环境。
- 如果爷爷认为自己的陪伴权受到侵害，或者孙女的生活和学习受到不利影响，可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。但在此之前，建议先咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能的结果。
可能涉及的法律后果：
- 如果爷爷的行为违反了法律规定或侵害了孙女的合法权益，可能会面临法律责任。例如，如果爷爷未经允许擅自将孙女带走或限制孙女与父母的联系，可能会构成违法行为，需要承担相应的法律责任。
- 另一方面，如果爷爷能够积极履行自己的道德义务和法律责任，与孙女保持亲密的亲情关系，这将有助于孙女的健康成长和家庭和谐。
总结来说，虽然法律没有直接规定爷爷与孙女间的陪伴权，但爷爷可以通过多种方式来维护和增进与孙女之间的亲情关系。在特殊情况下，爷爷也可能在一定程度上享有类似探望的权利或成为孙女的监护人。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。