结论前置：公安机关不予立案，主要基于没有犯罪事实、犯罪事实显著轻微不需追究刑事责任，或存在其他法定不予追究刑事责任的情形。这些决定均依据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定作出，并需通知控告人不立案的原因。若控告人不服，可申请复议或向人民检察院提出申诉。

详细分析：

1. 没有犯罪事实：

   • 公安机关在接到报案、控告、举报或自首材料后，会迅速进行审查。若审查结果显示没有犯罪事实存在，即不构成犯罪，公安机关将依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条的规定，不予立案。这是为了确保司法资源不被滥用，避免对无辜者进行不必要的调查。

2. 犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任：

   • 即便存在犯罪事实，但若该事实情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的，公安机关同样可以依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条和第一百一十二条的规定，不予立案。例如，轻微的邻里冲突导致的伤害行为，若综合判断社会危害性极小，则可能不属于刑事案件范畴。

3. 其他法定不予追究刑事责任的情形：

   • 《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条还列举了其他几种特定情形下，公安机关不应立案追究刑事责任的情况，包括但不限于：
     • 犯罪已过追诉时效期限；
     • 经特赦令免除刑罚；
     • 依照刑法告诉才处理的犯罪，没有告诉或者撤回告诉（如侮辱罪、诽谤罪等）；
     • 犯罪嫌疑人、被告人死亡；
     • 其他法律规定免予追究刑事责任的。

4. 不予立案的程序与救济途径：

   • 程序规定：根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百七十八条，公安机关决定不予立案的，应制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。
   • 复议申请：控告人对不予立案决定不服的，可以在收到不予立案通知书后七日以内向作出决定的公安机关申请复议。公安机关应当在收到复议申请后三十日以内作出决定，并将决定书送达控告人。
   • 申诉途径：若控告人对复议决定仍不服，还可以在收到复议决定书后七日以内向上一级公安机关申请复核。此外，被害人认为公安机关应当立案侦查而不立案的，还可以向人民检察院提出申诉，人民检察院将要求公安机关说明不立案的理由，并根据情况通知公安机关立案。

实际建议：

• 了解原因：若您遇到公安机关不予立案的情况，首先应要求公安机关出具书面的《不予立案通知书》，并详细了解不立案的具体原因。
• 申请复议或复核：如认为公安机关的不立案决定有误，可在规定时间内向作出决定的公安机关申请复议或向上一级公安机关申请复核。
• 寻求法律帮助：在此过程中，您可以向我咨询具体的法律意见和支持，以便更好地维护自己的合法权益。
• 考虑其他途径：如果案件涉及民事纠纷或其他非刑事犯罪情形，您还可以考虑通过民事诉讼或其他法律途径解决争议。

总之，公安机关在立案问题上需严格依法行事，既要确保有罪必究，又要避免对无辜者的不当追究。若您遇到相关问题，请随时向我咨询，我将为您提供专业的法律帮助。