在案件审理过程中，当事人确实可以申请延期审理，但必须符合法律规定的具体情形，并需得到法院的批准。以下是对这一问题的详细解答：
一、延期审理的法定情形
根据《中华人民共和国民事诉讼法》及《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，以下情形可以申请延期审理：
必须到庭的当事人和其他诉讼参与人有正当理由未到庭：
- 这包括能够正确表达意志的离婚案件当事人、负有赡养、扶育、抚养义务的被告，以及对于查清案情至关重要的证人、翻译人员等。若他们因突发疾病、交通延误等不可抗力或无法预见且无法避免的情况未能到庭，法院可以决定延期审理。
当事人临时提出回避申请：
- 回避申请针对的是审判人员、书记员、翻译人员、鉴定人等可能与案件存在利害关系或其他关系，进而影响案件公正审理的人员。在回避申请被审查处理期间，为确保审判的公正性和独立性，法院可以决定延期审理。
需要通知新的证人到庭、调取新的证据、重新鉴定、勘验或补充调查：
- 当案件审理过程中出现新的证据线索、需要新的证人出庭作证，或原有的鉴定、勘验结果存疑需要重新进行，以及案件事实需要进一步查证时，法院可根据实际情况决定延期审理。
其他应当延期的情形：
- 这是一个兜底条款，用于涵盖除上述三种明确情形外的其他可能导致庭审无法正常进行的特殊情况。例如，一方当事人在诉讼过程中被拘留等无法抗拒的原因，导致无法继续开庭审理。
二、延期审理的申请与决定
申请时间：
- 延期审理的请求一般应当在庭审前或庭审过程中提出。特殊且不可避免的情况下，庭审阶段仍允许提出延期申请，但需向法院说明具体情况。
申请方式：
- 当事人或其代理律师应向法庭提交书面申请，详细说明延期审理的理由，并提供相关证明材料以支持其申请。例如，若因突发疾病未能到庭，需提供医院出具的病假证明等。
法院决定：
- 法院在收到延期审理申请后，将审查申请的理由是否充分，并综合考虑当事人的权益、案件的紧急性、司法效率以及案件的整体进展等因素，作出是否同意延期审理的决定。若法院认为申请理由不成立或不符合法律规定，将驳回申请，案件将继续按照原定程序进行审理。
三、延期审理的影响与注意事项
影响：
- 延期审理可能会对案件的进度产生影响，因此法院在决定是否延期时会权衡各种因素。当事人应积极配合法院的工作，确保案件能够顺利进行。
注意事项：
- 当事人在申请延期审理时，应确保申请理由充分且符合法律规定，避免滥用延期审理权利导致案件拖延。
- 不同地区的速裁程序规定可能存在差异，如审理期限、延长审理期限的具体条件等。因此，在具体操作时，当事人应了解并遵守当地法院的相关规定。
总结来说，在案件审理过程中，当事人确实享有申请延期审理的权利，但这一权利的行使必须严格遵循法律规定的情形和程序。若您面临类似情况，建议及时咨询专业律师（即我本人，叶飞龙律师，专注于刑事辩护、合同纠纷、婚姻家庭、交通事故领域），以便更好地维护自己的合法权益。