补充诉讼请求的法律规定主要涉及民事诉讼法及其相关司法解释，以下是对此问题的详细解答：

1. 补充诉讼请求的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，当事人在诉讼过程中，如果发现原诉讼请求未能全面反映其合法权益，或者基于新发现的事实和证据，有权向法院提出补充诉讼请求。这是当事人行使诉讼权利的一种体现，旨在确保诉讼的公正性和全面性。

2. 补充诉讼请求的提出时机：

   • 补充诉讼请求通常应在法庭辩论终结前提出。这是因为，在法庭辩论终结后，案件将进入裁判阶段，此时再提出补充诉讼请求可能会打乱诉讼程序，影响案件的公正审理。因此，当事人应尽早准备并适时提出补充诉讼请求，以便法院能够全面审查并作出公正裁决。

3. 补充诉讼请求的内容与形式：

   • 补充诉讼请求的内容应与原诉讼请求相关联，且是基于新发现的事实和证据提出的。例如，在合同纠纷中，如果原诉讼请求是要求对方支付合同约定的款项，而后来发现对方还存在违约行为导致自己遭受了额外损失，那么就可以提出补充诉讼请求，要求对方赔偿这些额外损失。
   • 补充诉讼请求应以书面形式提出，并附上相关证据材料。书面申请应明确列出补充的诉讼请求事项、事实和理由，以及相应的证据清单。这样有助于法院清晰了解当事人的诉求和依据，提高诉讼效率。

4. 补充诉讼请求的审查与处理：

   • 法院在收到当事人的补充诉讼请求后，会进行审查。审查的内容主要包括补充诉讼请求是否与原诉讼请求相关联、是否基于新发现的事实和证据提出、是否在法庭辩论终结前提出等。
   • 如果法院认为补充诉讼请求符合法律规定和诉讼程序要求，会将其纳入审理范围，并通知对方当事人进行答辩。如果法院认为补充诉讼请求不符合要求，可能会驳回申请或要求当事人进行修正。

5. 实际操作中的建议：

   • 及时准备证据：当事人在提出补充诉讼请求前，应尽早收集并整理相关证据材料，确保补充诉讼请求有充分的事实和法律依据。
   • 明确诉求与理由：在书面申请中，应清晰、准确地列出补充的诉讼请求事项、事实和理由，避免模糊不清或遗漏重要信息。
   • 关注诉讼程序：当事人应密切关注诉讼程序进展，确保在法庭辩论终结前提出补充诉讼请求，以免错过时机。

举例说明： 假设在一起合同纠纷中，原告原本只要求被告支付合同约定的款项。但在诉讼过程中，原告发现被告还存在违约行为导致自己遭受了额外损失（如因被告违约导致的额外采购费用、运输费用等）。此时，原告可以向法院提出补充诉讼请求，要求被告赔偿这些额外损失。在提出补充诉讼请求时，原告应提交相关证据材料（如采购合同、发票、运输单据等），以证明其额外损失的存在和金额。

总结与提醒： 补充诉讼请求是当事人在诉讼过程中维护自身合法权益的一种重要手段。当事人在提出补充诉讼请求时，应确保符合法律规定和诉讼程序要求，并尽早准备相关证据材料。如果你在补充诉讼请求方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。