结论：在公安局刑事拘留7天，移交检察院批捕时又拘留7天，第十五天取保候审是合法的，但前提是犯罪嫌疑人必须符合取保候审的条件，并经过法定程序批准。以下是对这一问题的详细分析：

一、取保候审的法律依据与条件

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，取保候审是一种强制措施，适用于可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；以及患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的等情形。

具体条件包括：

1. 可能判处较轻刑罚：如管制、拘役或独立适用附加刑。
2. 社会危险性较低：即使可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不会对社会造成危险。
3. 特殊情形：如患有严重疾病、生活不能自理，或者怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女。

二、取保候审的申请与批准程序

1. 申请主体：犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权申请取保候审。
2. 申请材料：需要提交书面申请，并说明理由和拟采取的保证方式，如提供保证人或交纳保证金。
3. 批准机关：取保候审的决定由公安机关、人民检察院或人民法院根据案件情况作出。在您的案例中，由于案件已经移交检察院批捕阶段，因此取保候审的申请需要向检察院提出，并由检察院决定是否批准。

三、刑事拘留与取保候审的时间节点

1. 刑事拘留期限：根据法律规定，刑事拘留的期限一般为3日，特殊情况下可以延长至7日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，拘留期限可以延长至30日。
2. 批捕与继续拘留：在拘留期限内，公安机关认为需要逮捕的，会提请检察院审查批准。检察院批准逮捕后，公安机关会继续对犯罪嫌疑人进行拘留，但此时的拘留性质已经转变为逮捕后的羁押。
3. 取保候审的时机：在逮捕后的羁押期间，如果犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，其本人、法定代理人、近亲属或辩护人可以随时向办案机关提出取保候审的申请。因此，在您提到的第15天取保候审，只要符合条件并经过法定程序批准，就是合法的。

四、实际操作中的注意事项

1. 及时申请：一旦发现犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，应尽快向办案机关提出申请，以免错过最佳时机。
2. 准备充分：申请取保候审时，需要准备充分的材料证明犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，如医疗证明、保证人信息等。
3. 配合办案机关：在申请取保候审的过程中，应积极配合办案机关的工作，如实提供相关信息和材料。

总结来说，在公安局刑事拘留7天，移交检察院批捕时又拘留7天，第十五天取保候审是合法的，但前提是犯罪嫌疑人必须符合取保候审的条件，并经过法定程序批准。如果您或您的亲友遇到类似情况，建议尽快咨询专业律师（即我本人），以便更准确地了解案件情况和法律程序，并制定合适的辩护策略。