公司辞退员工的赔偿问题，需根据辞退的具体原因及合法性来确定，以下是详细解答：

1. 合法辞退且无需支付经济补偿的情形：

   • 若员工存在过错，如试用期被证明不符合录用条件、严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等，公司辞退员工时无需支付经济补偿。

2. 合法辞退但需支付经济补偿的情形：

   • 经济补偿计算标准：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。若员工月工资高于当地职工月平均工资三倍的，则按三倍数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。这里的月工资指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
   • 常见情形：包括用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同（且由用人单位提出）、员工患病或非因工负伤不能从事原工作也不能从事另行安排的工作、员工不能胜任工作经培训或调整工作岗位后仍不能胜任、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化致使劳动合同无法履行且双方未能就变更劳动合同内容达成协议、用人单位依照企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难、企业转产或重大技术革新或经营方式调整经变更劳动合同后仍需裁减人员等。

3. 违法辞退需支付赔偿金的情形：

   • 若公司违反法律规定辞退员工，如辞退孕期女职工、在医疗期内辞退员工等，需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。例如，若员工工作3年、月工资8000元，违法辞退时需支付的赔偿金为：\(8000元/月 \times 3月 \times 2 = 48000元\)。

4. 其他可能的赔偿：

   • 未提前通知的代通知金：若公司未提前30天以书面形式通知员工辞退，需额外支付一个月工资作为代通知金。
   • 应休未休年假工资：员工在被辞退时有应休未休的年假，公司应按日工资收入的300%支付未休年假工资报酬（其中包含用人单位支付职工正常工作期间的工资收入，即额外支付200%的工资）。
   • 加班工资：若员工有加班但公司未支付加班工资，员工可在被辞退时要求支付。
   • 竞业限制补偿：若劳动合同中约定了竞业限制条款，员工离职后应获得的竞业限制补偿金不得低于月工资的30%（具体比例可能因地区和合同约定而异）。

5. 特殊保护群体的限制性规定：

   • 对于从事职业病危害作业未进行离岗前健康检查、患职业病或因工负伤丧失劳动能力、连续工作满15年且距退休不足5年的员工，用人单位不得单方解除劳动合同，否则需支付赔偿金。

建议：

• 员工在被辞退时，应收集相关证据以便维权，如辞退通知、工作记录、工资单、加班记录等。
• 若公司拒付补偿或赔偿，员工可向当地劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的还可以向人民法院提起诉讼。

总结：公司辞退员工的赔偿问题涉及多个方面，具体处理时需结合实际情况和当地劳动法规进行综合判断。员工在面临辞退时，应了解自己的权益和应得的赔偿，并及时通过法律途径维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。