结论：当别人的狗咬伤你的狗时，你可以通过收集证据、确定被告信息、撰写并提交起诉状、参与庭审以及等待并执行判决等步骤来维护自己的合法权益。
一、收集证据
在起诉之前，收集充分的证据是至关重要的。这些证据将用于证明你的狗被咬伤的事实、对方狗的饲养人或管理人的过错以及因此产生的损失。具体来说，你可以收集以下证据：
现场证据：包括被咬伤时的现场照片或视频，特别是能够显示对方狗的行为以及你的狗受伤情况的证据。如果可能的话，还可以获取现场目击者的联系方式，以便后续可能需要他们出庭作证。
医疗证据：如果你的狗受伤后需要接受治疗，务必保存好所有与治疗相关的文件，如诊断证明、病历本、检查报告以及医疗费用票据等。这些证据将用于证明你的狗受伤的事实以及因此产生的医疗费用。
沟通记录：如果与对方狗的饲养人或管理人有过沟通，特别是关于赔偿问题的沟通，务必保存好相关的聊天记录、短信或通话录音等。这些证据可能用于证明对方承认过错或拒绝赔偿的情况。
二、确定被告信息及管辖法院
被告信息：明确对方狗的饲养人或管理人的姓名、联系方式和住址。这是起诉的基本前提，确保你能够准确地将起诉状送达给对方。
管辖法院：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，因侵权行为提起的诉讼，由侵权行为地或者被告住所地人民法院管辖。侵权行为地即你的狗被咬伤的地点；被告住所地则是对方狗的饲养人或管理人的户籍所在地或其经常居住地（连续居住一年以上的地方）。
三、撰写并提交起诉状
在律师的协助下（虽然此处我作为你的法律顾问可以提供指导，但实际操作中若条件允许，建议寻求专业法律文书的撰写支持以确保严谨性，不过我会尽量在此给出详细指导），根据收集的证据和事实情况，撰写一份详尽的起诉状。起诉状应包含以下内容：
原被告基本信息：包括你的姓名、联系方式和住址，以及对方狗的饲养人或管理人的姓名、联系方式和住址。
诉讼请求：明确列出你要求对方赔偿的具体项目及金额，如医疗费、误工费（若你因照顾受伤的狗而产生了误工损失）、精神损害抚慰金等。需要注意的是，由于这是动物之间的侵权，误工费等可能需要根据实际情况和证据来合理主张，并非所有情况下都能得到支持。
事实与理由：详细陈述你的狗被咬伤的经过、治疗情况以及对方狗的饲养人或管理人应承担赔偿责任的法律依据。可以引用《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条的规定，即“饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任”。在此情况下，由于是被咬伤的是你的狗而非人，但法律原则相似，即饲养人需对其动物造成的损害负责。
证据清单及来源：列出你收集的所有证据清单，并注明每份证据的来源和证明目的。
将起诉状及相关材料提交至有管辖权的法院，并按要求支付诉讼费用。
四、参与庭审
庭前准备：熟悉案件事实和证据，准备好辩论意见。可以思考对方可能提出的抗辩理由，并准备相应的反驳证据和论点。
庭审过程：如实陈述案情，出示证据，对对方证据进行质证，围绕争议焦点展开辩论。在辩论过程中，保持冷静和理性，用事实和法律来支持自己的观点。
最后陈述：在庭审的最后阶段，明确陈述自己的诉求和意见，强调对方应承担的赔偿责任。
五、等待并执行判决
等待判决：法院会根据事实和法律规定作出公正判决。在等待判决期间，保持耐心并遵守法庭纪律。
执行判决：若判决支持你的诉求而对方未履行赔偿义务，你可向法院申请强制执行。通过查询、冻结、划拨存款或查封、扣押、拍卖财产等措施实现你的合法权益。
特别提示：在整个过程中，保持冷静和理性至关重要。同时，注意保护个人安全和隐私避免二次伤害。如果你在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。