结论前置：当公司法人（即法定代表人）死亡且公司还有一名股东时，该股东可以行使公司权益，但需依法进行法定代表人的变更，妥善处理股权继承问题，并确保公司决策与治理的合法性，以维持公司的正常运营。以下从多个角度进行详细分析：

一、公司法定代表人死亡后的处理

1. 变更法定代表人

   • 公司法定代表人死亡后，公司必须按照公司章程或相关法律法规的规定，及时推选或指定新的法定代表人，并办理变更登记手续。在只有一名股东的情况下，该股东有权决定并任命新的法定代表人。这是公司正常运营的必要步骤，也是法律规定的义务。
   • 所需文件：变更登记申请书、股东决定（或股东会决议，一人有限责任公司时即为股东决定）、新法定代表人的身份证明等。

2. 经营管理影响及应对措施

   • 法定代表人死亡可能对公司运营产生短期影响，如业务洽谈、合同签订等可能受到阻碍。为确保公司稳定运营，可由其他管理人员暂时代行法定代表人职责，直至新任法定代表人选出并完成登记。

二、唯一股东的权利与义务

1. 股东权利

   • 唯一股东享有公司全部股权，包括资产收益、参与重大决策和选择管理者等权利。在法定代表人死亡后，该股东有权决定公司的未来走向，包括选举新的法定代表人、处理公司资产等。

2. 股东义务

   • 唯一股东也需承担全部责任和义务，如遵守公司章程、按时缴纳出资、不得滥用股东权利损害公司或其他股东利益等。特别需注意保持公司财产与个人财产的分离，以避免连带责任风险。

3. 公司决策与治理

   • 一人有限责任公司不设股东会，股东在作出公司重大决策时，应采用书面形式并签名后置备于公司。这确保了决策的合法性和有效性，也便于后续审计和监管。

三、股权继承问题

1. 继承原则

   • 若死亡的法定代表人同时为公司股东，其股权将依据《公司法》和《民法典》的相关规定进行继承。一般情况下，合法继承人可继承股东资格，但公司章程另有规定的除外。

2. 继承程序

   • 股权继承需办理股权变更登记手续，确保股权结构的稳定性和合法性。这通常涉及继承权的确认、股权转让协议的签订以及工商变更登记等步骤。

四、可能涉及的法律后果

1. 公司债务承担

   • 公司债务由公司以其全部财产承担，股东以其认缴的出资额为限对公司承担责任。即使法定代表人死亡或股东变更，公司债务仍由公司承担。但若股东滥用公司法人独立地位和有限责任逃避债务，严重损害债权人利益，则需承担连带责任。

2. 法律责任风险

   • 若唯一股东未依法履行变更法定代表人、处理股权继承等义务，可能面临法律责任风险，如行政处罚、民事赔偿等。因此，建议唯一股东在法定代表人死亡后及时咨询法律专业人士，确保公司运营的合法性和稳定性。

五、处理步骤与建议

1. 查阅公司章程与法规

   • 首先，应详细查阅公司章程及相关法律法规，明确法定代表人死亡后的处理方式和程序。这有助于确保后续步骤的合法性和有效性。

2. 与相关方沟通协商

   • 与剩余股东（即唯一股东自己）、公司管理人员以及可能的继承人进行充分沟通，协商解决方案，确保各方利益得到妥善保障。

3. 选举或指定新法定代表人

   • 按照规定程序选举或指定新的法定代表人，并确保相关手续齐全、合法有效。这有助于恢复公司的正常运营和对外形象。

4. 处理股权继承问题

   • 根据公司章程或相关法律法规处理法人持有的股份，确保股权结构的稳定性和合法性。这有助于维护公司的股权清晰和治理结构稳定。

作为张长波律师，我建议你在处理此类问题时务必谨慎行事，确保每一步都符合法律法规的要求。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。