当两个人发生肢体冲突时，为了妥善处理并维护双方的合法权益，可以按照以下步骤来操作：

一、确保安全是首要任务

在冲突发生的瞬间，如果对方情绪激动且有可能继续攻击，你的首要反应应该是迅速脱离危险环境。尽量往人多或者有监控覆盖的地方移动，这样既能减少进一步受伤的风险，也便于后续的取证和求助。同时，如果周围有人，不妨大声呼救，吸引更多人的注意，增加获得帮助的机会。

二、立即报警并积极配合

脱离危险后，别忘了第一时间拨打110报警。在报警时，要清晰、准确地告知警方冲突发生的地点、大致情况以及涉及的人员信息。警方到场后，要如实陈述冲突的起因、经过，自己受到的伤害，以及对方的显著特征。如果有现场的照片或视频证据，也一并提供给警方，这有助于他们更全面地了解情况。

三、全面收集和保留证据

证据是维护自己权益的关键。在冲突现场，尽量用手机或其他设备记录下双方的肢体动作、现场物品的损坏情况，以及周围的环境。如果有可能，寻找目击证人，并留下他们的联系方式，以便后续需要时能请他们作证。此外，即使感觉受伤不严重，也建议立即前往正规医疗机构进行检查，并妥善保存所有的医疗文件，如病历、诊断证明、检查报告以及医疗费用票据等。

四、了解并承担相应的法律责任

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》，殴打他人或故意伤害他人身体是违法的，可能会受到行政处罚，如拘留和罚款。如果情节严重，还可能构成犯罪，需要承担刑事责任。同时，根据《中华人民共和国民法典》，如果因他人的侵害行为造成了人身损害，你有权要求对方赔偿医疗费、护理费、交通费等合理费用，以及因误工减少的收入。

五、合理主张民事赔偿

在了解法律责任的基础上，你可以与对方就民事赔偿问题进行协商。协商时，要保持冷静和理性，明确表达自己的诉求，并保留好相关的沟通记录。如果协商不成，你可以考虑向人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，你需要向法院提交充分的证据来支持自己的诉讼请求，法院会根据法律规定和事实情况作出判决。

六、必要时寻求专业法律援助

如果你在处理冲突或维权过程中遇到了法律难题或争议，不妨及时寻求专业律师的法律咨询和援助。律师具有专业的法律知识和经验，能为你提供准确的法律意见和指导，帮助你更好地维护自己的合法权益。

总之，处理肢体冲突需要冷静、理性和依法行事。通过确保安全、报警配合、收集证据、了解法律责任、主张赔偿以及寻求法律援助等步骤，你可以更有效地维护自己的合法权益。