结论：在交警认定开车全责且已报保险的情况下，狗的治疗费用原则上应由保险公司赔偿，但具体赔偿金额和范围可能受保险条款、费用合理性等因素影响，不一定能全额赔偿2万多元。 以下是详细分析：
一、责任认定与保险赔偿的基本原则
- 责任认定：交警已认定开车方全责，这意味着开车方需承担因事故造成的全部损失，包括狗的治疗费用。
- 保险赔偿：既然已报保险，那么根据保险合同的约定，保险公司应在保险责任范围内对开车方应承担的损失进行赔偿。
二、可能影响赔偿金额的因素
保险条款：
- 不同的保险产品有不同的保障范围和赔偿限额。需仔细查看保险合同，确认是否包含对宠物伤害的赔偿，以及赔偿的具体限额。
- 如果保险合同中明确规定了宠物伤害的赔偿限额，且该限额低于2万多元，那么保险公司可能只会按照限额进行赔偿。
费用合理性：
- 保险公司可能会要求提供狗的治疗费用的相关凭证，如发票、诊断证明等，以确认费用的合理性和必要性。
- 如果保险公司认为某些费用不合理或非必要，可能会拒绝赔偿或要求减少赔偿金额。例如，如果狗的治疗过程中包含了不必要的检查或治疗项目，或者使用了过于昂贵的药品或材料，保险公司可能会对此提出异议。
免赔额和免赔率：
- 有些保险合同中可能规定了免赔额或免赔率，即保险公司不承担的部分损失。需确认保险合同中是否有此类规定，并计算免赔额或免赔率对赔偿金额的影响。
三、建议与措施
与保险公司沟通：
- 及时与保险公司联系，了解保险条款的具体内容，包括赔偿范围、限额、免赔额等。
- 提供狗的治疗费用的相关凭证，与保险公司协商赔偿金额和方式。
保留相关证据：
- 保留好所有与事故和狗的治疗相关的证据，如事故现场照片、交警的责任认定书、狗的治疗费用发票和诊断证明等。
- 这些证据将有助于在需要时证明自己的权益和损失。
寻求法律帮助：
- 如果与保险公司的沟通无果，或者对保险公司的赔偿决定有异议，可以考虑寻求法律帮助。
- 作为有经验的律师，我可以根据具体情况提供法律建议和帮助，包括起草法律文书、参与调解或诉讼等。