行政复议中履行法定职责的程序，主要依据《中华人民共和国行政复议法》及相关规定进行，具体程序如下：
一、申请阶段
提交申请：申请人认为行政机关未履行法定职责，损害其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。申请应当以书面形式提交，如果书写有困难的，也可以口头申请，由行政复议机关工作人员记录并经申请人确认。
申请内容：申请书应当载明申请人的基本情况、被申请人的名称、行政复议请求、申请行政复议的主要事实和理由、申请人的签名或者盖章以及申请行政复议的日期。
二、受理阶段
审查受理：行政复议机关收到行政复议申请后，应当在五日内进行审查，对不符合本法规定的行政复议申请，决定不予受理，并书面告知申请人；对符合本法规定，但是不属于本机关受理的行政复议申请，应当告知申请人向有关行政复议机关提出。
补正通知：如果申请材料不齐全或者表述不清楚，行政复议机关可以自收到该行政复议申请之日起五日内书面通知申请人补正。补正通知应当载明需要补正的事项和合理的补正期限。无正当理由逾期不补正的，视为申请人放弃行政复议申请。补正申请材料所用时间不计入行政复议审理期限。
三、审理阶段
送达与答复：行政复议机关受理行政复议申请后，应当将行政复议申请书副本或者行政复议申请笔录复印件发送被申请人。被申请人应当自收到申请书副本或者申请笔录复印件之日起十日内，提出书面答复，并提交当初作出具体行政行为的证据、依据和其他有关材料。
审理方式：行政复议原则上采取书面审查的办法，但是申请人提出要求或者行政复议机构认为有必要时，可以向有关组织和人员调查情况，听取申请人、被申请人和第三人的意见。
中止与终止：在行政复议期间，如果出现申请人、被申请人因不可抗力，不能参加行政复议；或者作为申请人的自然人死亡，其近亲属尚未确定是否参加行政复议等情形的，行政复议中止。中止原因消除后，应当及时恢复行政复议案件的审理。如果申请人撤回行政复议申请，行政复议机构准予撤回或者行政复议决定已依法送达等情形的，行政复议终止。
四、决定阶段
作出决定：行政复议机关负责法制工作的机构应当对被申请人作出的具体行政行为进行审查，提出意见，经行政复议机关的负责人同意或者集体讨论通过后，按照规定作出行政复议决定。
决定类型：行政复议决定包括维持、责令履行、撤销、变更、确认违法和责令赔偿等几种类型。如果认为被申请人不履行法定职责的，决定其在一定期限内履行。
送达与执行：行政复议决定书一经送达，即发生法律效力。被申请人应当履行行政复议决定。如果被申请人不履行或者无正当理由拖延履行行政复议决定的，行政复议机关或者有关上级行政机关应当责令其限期履行。
五、后续阶段
诉讼权利：如果申请人对行政复议决定不服，可以在收到行政复议决定书之日起十五日内向人民法院提起行政诉讼。
执行监督：行政复议机关或者有关上级行政机关应当加强对被申请人履行行政复议决定的监督，确保行政复议决定得到有效执行。
在行政复议过程中，如果申请人遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据具体情况，为你提供专业的法律意见和帮助。