结论：若要申请继子放弃继承权，核心在于与继子协商并使其签署放弃继承权声明书，若协商不成则可能需通过诉讼解决，但诉讼存在不确定性。以下为详细说明：
一、明确继子是否有继承权
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条规定，遗产按照下列顺序继承：
（一）第一顺序：配偶、子女、父母；
（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
因此，继子是否享有继承权，关键在于其与被继承人（您老公）之间是否形成了扶养关系。如果继子与您老公长期共同生活，您老公对其进行了抚养教育，那么继子就享有继承权；反之，如果没有形成扶养关系，继子则不享有继承权。在继子不享有继承权的情况下，就无需申请其放弃继承权。
二、继子享有继承权时，申请其放弃继承权的方式
- 协商签署放弃继承权声明书
- 协商沟通：您可以与继子进行坦诚的沟通，说明您的意愿和实际情况，争取其自愿放弃继承权。在沟通时，要注意方式方法，尊重继子的感受和权益，避免引起不必要的矛盾和纠纷。
- 签署声明书：如果继子同意放弃继承权，需要签署书面的放弃继承权声明书。声明书应当明确表示继子自愿放弃对被继承人遗产的继承权，并由继子本人签字或盖章，注明签署日期。为了确保声明书的法律效力，最好在公证处进行公证。公证可以增强声明书的证明力，避免日后可能出现的争议。
- 通过诉讼解决（协商不成时）
- 起诉条件：如果与继子协商不成，您可以考虑通过诉讼的方式来解决。要提起诉讼，需要有明确的被告（继子）、具体的诉讼请求（如要求继子放弃继承权或确认其不享有继承权）、事实和理由（如继子与被继承人之间未形成扶养关系等），并且属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。
- 诉讼过程：在诉讼过程中，您需要提供相关的证据来支持自己的主张，如证明继子与被继承人之间未形成扶养关系的证据，包括居住情况、经济支持情况、情感交流情况等方面的证据。法院会根据双方提供的证据和法律规定进行审理和判决。
- 诉讼风险：需要注意的是，诉讼存在一定的风险，法院的判决结果可能会与您的预期不符。而且诉讼过程可能会比较漫长，需要耗费您一定的时间、精力和费用。
三、注意事项
- 尊重继子权益：在整个过程中，要尊重继子的合法权益，避免采取过激或不合法的方式逼迫其放弃继承权。否则，不仅可能无法达到目的，还可能引发法律纠纷。
- 保留相关证据：无论是协商还是诉讼，都需要保留好相关的证据，如沟通记录、放弃继承权声明书、证明扶养关系的证据等。这些证据对于维护您的合法权益至关重要。
- 及时处理遗产：在处理继承权问题的过程中，要注意及时处理被继承人的遗产，避免因遗产长期闲置或管理不善而导致损失。
如果您在处理过程中遇到任何法律问题，可以直接向我咨询。