继子是否可以申请继承继母死后的遗产，这主要取决于他们之间是否形成了扶养关系。下面我将从法律角度为您详细解释这一问题。

首先，我们需要明确的是，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产的继承顺序中，第一顺序包括配偶、子女、父母。这里的“子女”不仅指婚生子女，还包括非婚生子女、养子女以及有扶养关系的继子女。因此，如果继子与继母之间形成了扶养关系，那么继子就有权作为第一顺序继承人继承继母的遗产。

那么，如何认定继子与继母之间是否形成了扶养关系呢？这通常需要考虑以下几个核心因素：

1. 共同生活：继子与继母是否长期共同生活，这是判断扶养关系是否存在的基础条件。共同生活的时长和深度都是重要的考量因素。如果继子在继母再婚后一直与她共同生活，那么这通常会被视为形成了扶养关系的一个重要标志。

2. 抚养教育：继母是否对继子进行了实质性的抚养和教育，包括经济上的支持、生活上的照顾以及教育上的投入。这些行为体现了继母对继子的关爱和责任，也是认定扶养关系的重要依据。

3. 家庭身份的融合：继子与继母之间的家庭身份是否得到了相互的认可和接纳，是否互相视为家庭成员并承担相应的家庭责任和义务。如果双方在家庭中形成了紧密的身份认同和相互依赖的关系，那么这通常也会被视为形成了扶养关系。

除了法定继承外，还有一种情况是遗嘱继承。即使继子与继母之间没有形成扶养关系，继母仍然可以通过遗嘱的方式明确表示将自己的财产留给继子。在这种情况下，继子可以依据遗嘱继承继母的遗产，而不受扶养关系的限制。

在实际司法实践中，对于扶养关系的认定往往需要结合具体案例进行综合分析。例如，如果继子在继母再婚时已经成年，但之后他们与继母长期共同生活，并对继母进行了经济上的供养和生活上的照料，那么法院可能会根据这些情况认定双方形成了扶养关系，从而赋予继子继承继母遗产的权利。

综上所述，继子是否可以申请继承继母死后的遗产，主要取决于他们之间是否形成了扶养关系。如果形成了扶养关系，那么继子就有权作为第一顺序继承人继承遗产；如果没有形成扶养关系，但继母通过遗嘱指定了继子为继承人，那么继子也可以依据遗嘱继承遗产。