关于廉政责任书的签订顺序，这通常取决于具体的组织规定和流程安排，不过我可以结合一般实践和相关制度规定，给您一个较为详细的解答。

在大多数情况下，廉政责任书的签订往往遵循一定的层级和程序。一般来说，领导（如单位主要负责人或党风廉政建设分管负责人）会先进行签订，这体现了领导对党风廉政建设工作的重视和承诺，同时也为下属或团队成员树立了榜样。领导签订后，再由相关个人（如部门负责人、普通员工等）进行签订，表示他们也将承担起相应的廉政责任。

以您提供的参考信息为例，在湖南省知识产权局的党风廉政建设签字背书制度中，明确规定了单位主要负责人和党风廉政建设分管负责人需要对与党风廉政建设相关的文件进行签字背书。这实际上就是一种领导先签、明确责任的做法。通过领导的签字背书，可以确保党风廉政建设工作的有效推进和落实，同时也为后续的考核和责任追究提供了依据。

当然，也有一些组织或单位可能会根据具体情况，采取不同的签订顺序或方式。但无论如何，廉政责任书的签订都应该是一个严肃、认真的过程，需要各方充分理解责任内容，明确自己的职责和义务。

因此，我建议您在签订廉政责任书时，先了解清楚本组织或单位的具体规定和流程安排，按照要求进行签订。如果您对签订顺序或内容有任何疑问或不确定的地方，可以及时向相关部门或领导进行咨询和确认，以确保签订的顺利进行和责任的有效落实。