结论：公安部门在曾经犯刑事案件的人员办理出境时，是否承担责任需视具体情况而定，主要取决于该人员是否属于法定不准出境的情形。

分析说明：

1. 法定不准出境的情形：

   • 根据《中华人民共和国出境入境管理法》第十二条的规定，中国公民有下列情形之一的，不准出境：
     • 未持有效出境入境证件或者拒绝、逃避接受边防检查的；
     • 被判处刑罚尚未执行完毕或者属于刑事案件被告人、犯罪嫌疑人的；
     • 有未了结的民事案件，人民法院决定不准出境的；
     • 可能危害国家安全和利益，国务院有关主管部门决定不准出境的；
     • 其他妨碍国家安全和社会秩序的情形，如涉及国家秘密、危害国家安全等。
   • 若曾经犯刑事案件的人员属于上述情形之一，特别是“被判处刑罚尚未执行完毕或者属于刑事案件被告人、犯罪嫌疑人”的，公安部门在办理出境手续时，会依法阻止其出境，并承担相应的法律责任。

2. 已执行完毕刑罚且非案件被告人、犯罪嫌疑人的情形：

   • 若曾经犯刑事案件的人员已经执行完毕刑罚，且不再属于刑事案件被告人或犯罪嫌疑人，同时也不存在其他法定不准出境的情形，那么公安部门在办理出境手续时，通常不会承担责任。
   • 在这种情况下，公安部门会依法审核其出境申请，并为其办理出境手续。

3. 公安部门的职责与权限：

   • 公安部门在办理出境手续时，主要职责是审核申请人的出境资格和条件，确保其符合出境入境管理法的规定。
   • 若申请人存在法定不准出境的情形，公安部门有权依法阻止其出境，并采取相应的法律措施。
   • 同时，公安部门也需保护申请人的合法权益，确保其在办理出境手续过程中不受非法侵害。

法律建议：

• 对于曾经犯刑事案件的人员，在计划出境前，应首先了解自己是否属于法定不准出境的情形。
• 若存在疑问或不确定，可咨询当地公安部门或专业律师，以获取准确的法律意见和指导。
• 在办理出境手续时，应如实提供个人信息和资料，配合公安部门的审核工作，确保出境手续的顺利办理。

可能后果：

• 若曾经犯刑事案件的人员属于法定不准出境的情形而强行出境，可能面临被阻止出境、罚款、拘留等法律后果。
• 若公安部门在办理出境手续过程中存在违法行为或不当行为，申请人可依法向相关部门投诉或寻求法律救济。