劳动关系行政认定的三个核心条件可以归纳如下：
主体资格合法性：
- 用人单位：必须是依法成立并具备用工权利能力和行为能力的组织，这包括但不限于企业、个体经济组织、民办非企业单位、国家机关、事业单位及社会团体等。这些组织应拥有合法的经营资质或法人资格，能够独立承担法律责任。
- 劳动者：必须达到法定就业年龄（一般为16周岁，特殊行业需依法审批），具备劳动能力，且身体健康状况符合工作要求。劳动者应能正常履行劳动义务，并依靠劳动报酬维持生活。
从属性与劳动管理：
- 人格从属性：劳动者需服从用人单位的管理和指挥，遵守其制定的规章制度，如考勤制度、工作纪律等。这体现了劳动者在工作过程中对用人单位的依赖性和服从性。
- 经济从属性：劳动者的劳动报酬由用人单位支付，且该报酬是其主要经济来源。用人单位应按照约定方式和时间支付工资，确保数额和支付形式符合法律规定及劳动合同约定。这体现了劳动者在经济上对用人单位的依赖。
- 劳动管理与报酬的结合：劳动者需接受用人单位的劳动管理，并从事其安排的有报酬的劳动。这是劳动关系中的核心要素，体现了劳动者与用人单位之间的紧密联系和相互依赖。
业务组成部分与劳动给付：
- 业务组成部分：劳动者提供的劳动必须是用人单位业务的有机组成部分，与其整体运营和发展直接相关。这表明劳动者的工作不是孤立的，而是融入用人单位的生产经营体系中。
- 劳动给付的实际性：劳动者需为用人单位提供实际的劳动，且该劳动应产生相应的经济利益或社会效益。用人单位通过劳动者的劳动实现其生产经营目标，获取所需的经济或社会价值。
法律背景与建议：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第七条，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应建立职工名册备查。这一规定为劳动关系的认定提供了明确的法律依据。
- 在实际操作中，判断劳动关系是否存在时，应综合考虑上述三个方面的因素。同时，劳动合同的签订是证明劳动关系最有力的证据之一。因此，建议用人单位在与劳动者建立劳动关系时，及时订立书面劳动合同，明确双方的权利和义务，以维护双方的合法权益。
- 若发生劳动争议，如用人单位否认与劳动者存在劳动关系，劳动者可依据相关法律法规和劳动合同条款（如有）进行调解、仲裁或诉讼处理。在仲裁或诉讼过程中，劳动者需提供能够证明劳动关系的证据，如工资支付凭证、工作证、服务证等。
可能法律后果：
- 若用人单位未依法与劳动者签订书面劳动合同，但双方实际存在劳动关系，用人单位可能面临劳动行政部门的处罚，如责令限期改正、罚款等。
- 若因劳动关系认定问题引发劳动争议，用人单位和劳动者均需承担相应的举证责任。若用人单位无法提供充分证据证明与劳动者不存在劳动关系，可能需承担不利的法律后果。
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