公职人员偷看并传播他人微信内容，属于侵犯公民个人信息且可能涉及滥用职权的行为，需根据具体情节承担相应法律责任，具体处理方式如下：

1. 民事责任
   根据《民法典》第1032条、第1033条，自然人享有隐私权，任何组织或个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人隐私。微信聊天记录属于个人隐私范畴，公职人员未经允许偷看并传播，构成对他人隐私权的侵害，需承担停止侵害、赔礼道歉、赔偿损失等民事责任。若造成严重精神损害，被侵权人可主张精神损害赔偿。

2. 行政责任
   若公职人员通过职务便利（如利用工作设备、系统权限）偷看他人微信，可能违反《公务员法》第59条关于“不得滥用职权，侵害公民、法人或者其他组织的合法权益”的规定，以及《治安管理处罚法》第42条关于“偷窥、偷拍、窃听、散布他人隐私”的处罚条款（处5日以下拘留或500元以下罚款；情节较重的，处5-10日拘留，可并处500元以下罚款）。单位可依据《行政机关公务员处分条例》给予警告、记过、记大过、降级、撤职或开除等处分。

3. 刑事责任
   若公职人员非法获取、传播他人微信内容达到“情节严重”标准（如传播信息数量大、造成严重后果等），可能构成《刑法》第253条之一的侵犯公民个人信息罪（处3年以下有期徒刑或拘役，并处或单处罚金；情节特别严重的，处3-7年有期徒刑，并处罚金）。若利用职务便利实施该行为，还可能同时构成滥用职权罪或玩忽职守罪，需数罪并罚。

4. 纪律处分与内部追责
   公职人员所在单位应根据《中国共产党纪律处分条例》《公职人员政务处分法》等规定，对涉事人员启动纪律审查程序，依据情节轻重给予党纪政务处分。若涉及职务违法或犯罪，需移送监察机关或司法机关处理。

建议处理步骤：

1. 固定证据：保存微信聊天记录截图、传播记录（如群聊、转发记录）、设备登录记录等；
   
2. 向单位举报：通过内部纪检监察部门或上级单位投诉，要求启动调查；
   
3. 报警处理：若情节严重，可向公安机关报案，追究行政或刑事责任；
   
4. 提起民事诉讼：要求侵权人停止侵害、赔偿损失并公开道歉。
   

特别提示：公职人员利用职务便利侵犯公民隐私的，将从重处罚。若您或他人遭遇此类情况，可直接向我咨询具体维权策略。