结论前置：若遭遇拘留所超过拘留期还不放人的情况，被羁押人或其家属可以通过起诉实施超期羁押行为的办案机关或具体责任人员来维护权益，同时还可以申请国家赔偿，并通过申诉、控告等途径追究相关责任。
详细分析：
起诉对象的选择：
- 侦查阶段：如果公安机关、国家安全机关等侦查机关在法定时间内未能完成侦查工作，却继续关押犯罪嫌疑人，那么被羁押人或其家属可以以这些具体负责案件侦查的机关为被告提起诉讼。例如，某县公安局在办理一起盗窃案件时，对犯罪嫌疑人张某进行了超期羁押，张某或其家属就可以该县公安局为被告，向法院提起诉讼。
- 审查起诉和审判阶段：在审查起诉阶段，如果人民检察院未能在规定时间内作出是否起诉的决定，而继续羁押嫌疑人，那么应以相应的人民检察院作为被告；在审判阶段，如果人民法院因案件审理安排不当等原因导致被告人超期羁押，则应以具体审理案件的人民法院为被告。
申请国家赔偿：
- 被超期羁押的人有权向实施超期羁押行为的机关申请国家赔偿。赔偿义务机关即为上述实施超期羁押行为的机关。申请国家赔偿时，需要提交相关的证据材料，如拘留通知书、释放证明书等，以证明超期羁押的事实和期限。
申诉与控告：
- 对于超期羁押行为，被羁押人或其家属还可以向相关机关进行申诉、控告。申诉、控告的对象可以是实施超期羁押行为的机关，也可以是其上级机关或监察机关。通过申诉、控告，可以促使相关机关对超期羁押行为进行调查处理，并追究相关责任人员的责任。
起诉直接责任人员：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，司法工作人员如果由于严重不负责任，致使在押的犯罪嫌疑人、被告人或者罪犯脱逃，造成严重后果的，可能会面临刑事处罚。虽然这一条款直接针对的是脱逃行为，但超期羁押同样可能涉及司法工作人员的严重不负责任。因此，在特定情况下，被羁押人或其家属也可以考虑起诉直接负责的主管人员和其他直接责任人员，要求他们承担相应的法律责任。不过，这种情况需要具体分析，并收集充分的证据来支持起诉。
实际操作建议：
- 在面对超期羁押的情况时，建议被羁押人或其家属首先收集并保存好所有与羁押相关的证据材料，如拘留通知书、释放证明书、申诉控告材料等。
- 其次，可以咨询专业律师（即我本人，李剑敏律师，专注于婚姻家庭、合同纠纷、经济纠纷、房产纠纷、公司事务、侵权纠纷、行政纠纷、涉外纠纷领域），了解具体的法律程序和维权策略。
- 最后，根据律师的建议和实际情况，选择合适的维权途径，如起诉、申请国家赔偿、申诉控告等。
法律后果提示：
- 如果起诉成功，实施超期羁押行为的机关或具体责任人员可能需要承担法律责任，包括赔偿损失、承担刑事责任等。
- 同时，被羁押人也有权获得相应的经济补偿，以弥补因超期羁押而遭受的损失。
在面对拘留所超过拘留期还不放人的情况时，被羁押人或其家属应保持冷静，积极收集证据，并寻求专业的法律帮助来维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。