当公安阶段的取保候审到期后，其后续处理方式会依据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，并结合案件的具体进展和被取保候审人的行为表现来综合决定。以下是对此问题的详细解答：
一、取保候审的期限与解除条件
首先，需要明确的是，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，取保候审的最长期限不得超过十二个月。在取保候审期间，如果犯罪嫌疑人、被告人没有违反取保候审的规定，且司法机关认为不再需要继续采取强制措施，或者案件已经终结（如撤销案件、不起诉、判决无罪或刑罚执行完毕等），则应当解除取保候审。
二、取保候审到期后的可能处理方式
继续取保候审：
- 如果案件侦查仍在进行中，且犯罪嫌疑人、被告人符合取保候审的条件（如没有逃跑、毁灭证据等风险），公安机关可以决定继续取保候审。此时，需要重新办理相关手续，包括重新确定保证金数额或提出新的保证人，同时取保候审的期限也会重新计算。
变更强制措施：
- 在取保候审期间，如果发现犯罪嫌疑人、被告人存在违反取保候审规定的行为，或者案件情况发生变化，需要采取更为严格的强制措施时，公安机关可以变更强制措施。这可能包括变更为监视居住、拘留或逮捕等其他强制措施。例如，当发现犯罪嫌疑人企图自杀、逃跑、干扰证人作证或毁灭证据等情况时，公安机关可能会决定予以逮捕。
解除取保候审：
- 如果取保候审期限届满，或者经过侦查认为犯罪嫌疑人的行为不构成犯罪，或者依法不应追究刑事责任时，公安机关应当及时解除取保候审。解除取保候审时，公安机关会通知被取保候审人和有关单位，并退还其交纳的保证金（如果被采取了保证金方式取保候审）。
- 另外，如果案件侦查终结，公安机关认为犯罪事实清楚，证据确实、充分，应当追究犯罪嫌疑人刑事责任的，会将案件移送至人民检察院审查起诉，并同时解除取保候审措施。
继续侦查、起诉和审理：
- 取保候审期间，公安机关不得中断对案件的侦查工作。即使取保候审到期，如果案件尚未侦结或需要继续审理，公安机关仍会依法进行后续工作，包括继续侦查、起诉和审理。
三、被取保候审人的权利与注意事项
- 权利：若取保候审到期但相关机关未作任何处理，被取保候审人及其法定代理人、近亲属或辩护人有权要求解除取保候审措施，以维护自身合法权益。
- 注意事项：
- 保持通讯畅通：确保联系方式有效，便于司法机关随时联系。
- 遵守法律法规：避免因新的违法行为影响案件处理或引发新的法律责任。
- 主动沟通跟进：定期向办案机关了解案件进展，明确自身权利义务。
- 寻求专业帮助：如有疑问或权益受损，可咨询律师获取针对性法律指导。
综上所述，公安阶段取保候审到期后的处理方式会依据案件的具体情况和被取保候审人的行为表现来综合决定。被取保候审人应遵守相关规定，配合公安机关的工作，以确保自身权益不受损害。同时，对于公安机关的任何决定，当事人都有权了解并寻求法律援助以保护自己的合法权益。