公司在以下特定情形下可以开除员工且无需支付经济补偿金：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件

   • 说明：根据《劳动合同法》第三十九条第一项，若劳动者在试用期内被证明未满足招聘时明确的录用条件（如熟练掌握特定技能、学历或工作经验要求等），用人单位可解除劳动合同且不需赔偿。但关键在于，用人单位需在招聘时明确录用条件，并告知劳动者；同时，需有客观证据证明劳动者未达到这些条件，例如通过专业技能测试、工作表现评估等方式。
   • 例子：某公司招聘软件工程师，明确要求熟练掌握特定编程语言和开发框架，但试用期内发现某员工技能不达标，无法完成工作任务，此时公司可依据此规定解除合同。

2. 严重违反用人单位的规章制度

   • 说明：根据《劳动合同法》第三十九条第二项，当员工行为严重违反了合法制定、已公示的用人单位规章制度（如多次旷工、扰乱工作秩序、盗窃公司财物等），公司有权解除劳动合同且不支付赔偿。但规章制度必须经民主程序制定并公示，且员工的行为需达到“严重”程度。
   • 例子：某公司明文禁止工作时间内赌博，但某员工多次违规聚众赌博，严重影响了公司秩序，公司可据此开除该员工且不支付赔偿。

3. 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害

   • 说明：根据《劳动合同法》第三十九条第三项，若劳动者因严重失职或营私舞弊行为给用人单位带来重大经济损失或其他严重后果，用人单位可依法解除劳动合同。这里的“重大损害”可由公司规章制度明确定义，或结合行业特点判断。
   • 例子：财务人员疏忽大意导致巨额诈骗款项转出，或采购人员收受贿赂采购劣质原材料，给公司造成严重影响，公司可开除该员工且不支付经济补偿。

4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正

   • 说明：根据《劳动合同法》第三十九条第四项，若员工在外兼职且对本职工作产生负面影响（如延误工作、降低工作质量），或在公司要求停止后拒不改正，公司可解除合同且无需赔偿。
   • 例子：某员工在甲公司全职工作期间又与乙公司建立劳动关系，导致甲公司工作任务频繁延误，经多次提醒后仍不改正，甲公司可开除该员工且不支付赔偿。

5. 因欺诈、胁迫或乘人之危订立劳动合同

   • 说明：根据《劳动合同法》第三十九条第五项及第二十六条，若劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，该合同无效，用人单位可解除劳动合同且不需支付赔偿。
   • 例子：劳动者提供虚假学历证书、工作经历等信息骗取劳动合同，用人单位发现后可解除合同且不支付赔偿。

6. 被依法追究刑事责任

   • 说明：根据《劳动合同法》第三十九条第六项，若员工被人民法院判处刑罚（含主刑、附加刑），或被免予刑事处罚，公司可解除其劳动合同且无需支付经济补偿金。
   • 例子：某员工因涉嫌犯罪被判处有期徒刑，其所在单位可依据此规定解除与其的劳动合同。

额外提醒：

• 公司在采取上述任何一项措施前，必须确保有充分证据，并遵循法律程序，如通知工会和劳动者本人等步骤。否则，可能因违法解雇而需支付经济补偿或其他赔偿。
• 若劳动合同到期且用人单位不愿续签，或双方协商一致解除劳动合同，用人单位同样无需支付经济补偿。但需注意，这种情况下应确保合同的到期或解除是基于双方的真实意愿和合法协商。

建议：

• 作为劳动者，应了解自己的权益和义务，避免不必要的法律纠纷。若对公司开除决定有异议，可依法申请劳动仲裁或提起诉讼。
• 作为公司，在处理此类事务时应咨询专业法律顾问，如我本人，以确保合规性并降低法律风险。