结论前置：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司在特定情况下开除员工无需支付赔偿。这些情况主要包括员工在试用期内不符合录用条件、严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊、同时与其他单位建立劳动关系且拒不改正、劳动合同无效以及被依法追究刑事责任。以下是对这些情形的详细阐述：

1. 试用期内不符合录用条件

   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第一项。
   • 具体情形：公司在招聘时需明确规定具体、合理且合法的录用条件，如学历、专业技能等，并在员工入职时让其知晓。若员工在试用期间被证明不符合这些条件，如无法完成基本工作任务且经培训或调整岗位后仍无法胜任，公司可解除劳动合同且无需赔偿。
   • 示例：某公司招聘销售岗位，明确要求首月销售额需达5万元，员工仅完成2万元，且经培训后仍无法达标，公司可依法解除劳动合同。

2. 严重违反公司规章制度

   • 法律依据：同上，第二项。
   • 具体情形：规章制度需通过民主程序制定，不违反法律法规，并已向劳动者公示。员工若多次旷工、泄露公司机密、打架斗殴等行为，构成严重违反规章制度，公司可解除劳动合同且无需赔偿。
   • 示例：某公司员工多次未经允许擅自离岗，严重影响工作秩序，且经公司多次警告后仍不改正，公司可依法解除劳动合同。

3. 严重失职或营私舞弊

   • 法律依据：同上，第三项。
   • 具体情形：员工因玩忽职守、敷衍塞责等严重失职行为，或因利用职务之便谋取私利等营私舞弊行为，给公司造成重大损害（如巨额经济损失），公司可解除劳动合同且无需赔偿。
   • 示例：某公司财务人员因疏忽导致公司资金被盗用，或采购员收受回扣导致公司重大损失，公司可依法解除劳动合同。

4. 同时与其他单位建立劳动关系且拒不改正

   • 法律依据：同上，第四项。
   • 具体情形：员工若同时与其他单位建立劳动关系，对本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正（如在本单位工作的同时在竞争对手处兼职），公司可解除劳动合同且无需赔偿。
   • 示例：某公司员工未经允许在外兼职，导致工作时间不足或精力分散，严重影响本职工作，且经公司提出后仍拒不改正，公司可依法解除劳动合同。

5. 劳动合同无效

   • 法律依据：结合《中华人民共和国劳动合同法》第二十六条第一款第一项及第三十九条第五项。
   • 具体情形：若员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同（如提供虚假学历证书、工作经历等骗取录用），导致劳动合同无效，公司可解除劳动合同且无需赔偿。
   • 示例：某员工使用虚假学历入职，公司发现后可依法解除劳动合同。

6. 被依法追究刑事责任

   • 法律依据：同上，第六项。
   • 具体情形：员工若被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑），或被依据《中华人民共和国刑法》免予刑事处罚，公司可解除劳动合同且无需赔偿。
   • 示例：某公司员工因犯罪被人民法院判处有期徒刑，公司可依法解除劳动合同。

注意事项：

• 在解除劳动合同时，公司必须确保其行为符合相关法律法规，避免歧视、压迫或报复行为。
• 公司需拥有明确且充分的证据以证实上述情况确实发生，如试用期考核记录、规章制度文本、员工违规行为的记录及证据、财务损失报告、事故调查报告、法院的判决文书等，否则可能面临法律风险。

建议：

• 公司在制定规章制度时，应确保其合法性、合理性和公示性，以便在需要时作为解除劳动合同的依据。
• 在解除劳动合同前，公司应充分收集证据，确保解除行为的合法性和合理性。
• 若公司对解除劳动合同的法律程序或证据收集存在疑问，可直接向我咨询，我将提供专业的法律意见和帮助。