结论：在赠与合同纠纷案中，若被告已付清本金但利息未支付，法院通常不会直接结案而不通知原告。法院会综合考虑案件情况，确保双方权益得到妥善处理。
分析说明：
法院结案的基本原则：
- 法院在处理案件时，会遵循公正、公平、公开的原则，确保双方当事人的合法权益得到充分保障。在赠与合同纠纷案中，若被告已付清本金但利息未支付，这并不意味着案件已经完全解决。法院需要确认所有争议点，包括利息的支付情况，是否都已得到妥善处理。
利息支付与案件结案的关系：
- 利息作为赠与合同的一部分，其支付情况直接影响到案件的最终处理结果。如果被告未支付利息，法院在结案前会要求被告履行支付义务，或者通过判决、调解等方式确定利息的支付方式和期限。只有在所有争议点都得到解决后，法院才会考虑结案。
法院通知原告的义务：
- 根据法律规定，法院在处理案件过程中，有义务及时通知双方当事人案件的进展情况。这包括案件的受理、开庭、判决、执行等各个环节。因此，在赠与合同纠纷案中，如果被告已付清本金但利息未支付，法院在作出任何决定前，都会通知原告，并听取其意见。
可能的法律后果：
- 如果被告未支付利息，且法院在结案前未对此进行处理，那么原告有权在结案后继续向被告追讨利息。此外，如果法院在结案过程中存在程序瑕疵或未履行通知义务，原告还可以依法提出上诉或申请再审，以维护自己的合法权益。
行动建议：
- 对于原告：如果收到法院的通知或判决，应仔细阅读并理解其中的内容。如果发现被告未支付利息或法院在处理过程中存在瑕疵，应及时向法院提出异议或上诉。
- 对于被告：如果确实存在未支付利息的情况，应尽快与原告协商解决或主动履行支付义务。以避免不必要的法律纠纷和额外的经济损失。
特殊场景：
- 如果双方当事人在诉讼过程中达成了调解协议，且调解协议中明确规定了利息的支付方式和期限，那么法院在确认调解协议有效后，会依据调解协议的内容进行结案。但即使在这种情况下，法院也会确保调解协议的内容得到双方当事人的充分理解和认可，并会通知原告调解协议的具体内容。
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