结论前置：贷款人和银行申请分期还贷款后，担保人的责任是否继续存在，主要取决于担保方式（一般保证或连带责任保证）以及债务人的还款情况。以下是对不同担保方式下担保人责任的具体分析：
一般保证责任下
债务人正常分期还款时：
- 在一般保证中，保证人享有先诉抗辩权。这意味着，只要债务人按照分期还款计划正常还款，没有出现逾期或无法偿还的情况，债权人不能直接要求担保人承担还款责任。担保人此时无需介入还款过程，其责任处于“休眠”状态。
债务人无法按时履行分期还款义务时：
- 如果债务人未能按时足额还款，债权人在对债务人财产进行强制执行后，若债务人的财产仍不足以清偿债务，担保人则需要在其保证范围内承担保证责任，对剩余未偿还的债务进行清偿。此时，担保人的责任被“激活”。
连带保证责任下
债务人正常分期还款时：
- 在连带责任保证中，即使债务人在正常分期还款，债权人也有权要求担保人承担还款责任。不过，担保人在承担责任后，有权向债务人追偿已经偿还的款项。这意味着，担保人在此情况下可能面临被债权人直接追偿的风险，但随后可以通过追偿权来减少损失。
债务人无法按时履行分期还款义务时：
- 当债务人未按约定履行分期还款责任时，债权人可以直接要求担保人在其保证范围内承担还款责任。同样地，担保人在履行还款义务后，有权向债务人进行追偿。在这种情况下，担保人的责任更为直接和显著，因为债权人无需先对债务人进行追偿。
法律建议与风险提示
- 明确担保方式：担保人在提供担保前，应仔细了解担保合同的具体条款，明确自己的担保方式（一般保证或连带责任保证）以及责任范围。这有助于担保人评估自身的风险承受能力，并做出明智的决策。
- 谨慎评估风险：担保人应谨慎评估债务人的还款能力和信用状况，以及可能面临的法律风险。如果债务人存在还款困难或信用不佳的情况，担保人应考虑拒绝提供担保或要求债务人提供反担保措施。
- 及时行使权利：在需要承担责任时，担保人应及时行使自己的追偿权，以减少损失。同时，担保人还应关注债务人的还款情况，一旦发现债务人无法按时还款，应及时与债权人沟通并采取措施保护自己的权益。
总结：贷款人和银行申请分期还贷款后，担保人的责任是否继续存在取决于担保方式以及债务人的还款情况。担保人在提供担保前应充分了解自己的责任和义务，并谨慎评估风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。