结论：在单位弄坏东西，单位一般不能既要求赔偿又进行罚款，但具体情况需结合单位性质、规章制度及员工过错程度综合判断。以下分情况详细说明：

1. 单位性质与权限

   • 企业单位：企业作为市场主体，对员工造成单位财产损失的，有权依据《民法典》第1165条要求员工承担赔偿责任，但赔偿范围应以实际损失为限，且需证明员工存在故意或重大过失。
     例外：若企业规章制度中明确规定了“损坏物品需赔偿并罚款”，且该制度经民主程序制定（如职工代表大会讨论）并公示，可能被认定为有效。但根据《劳动合同法》第4条，罚款属于对员工财产的处分，需符合“合理性”原则（如罚款金额不得超过月工资20%），否则可能因违法而无效。
   • 行政事业单位：根据《行政处罚法》第17条，只有行政机关或法律授权的组织才能实施罚款。因此，行政事业单位若无明确法律依据，不得对员工罚款，但可依据内部规定要求赔偿。

2. 员工过错程度

   • 故意损坏：若员工故意破坏单位财物，单位可要求全额赔偿，并可能依据规章制度或劳动合同追究违约责任（如解除合同）。但罚款仍需符合上述“合理性”限制。
   • 重大过失：如因操作不当导致损坏，单位可要求部分赔偿，但罚款需谨慎。例如，员工因疏忽损坏设备，单位可要求修复费用或折旧赔偿，但罚款可能因“过罚不当”被认定无效。
   • 一般过失：若仅为轻微疏忽（如未及时关闭电源导致设备损耗），单位通常只能要求象征性赔偿或免于赔偿，罚款缺乏法律依据。

3. 制度合法性审查

   • 即使单位规章制度规定“赔偿+罚款”，也需满足：
     （1）内容合法（不违反《劳动法》《劳动合同法》等强制性规定）；
     （2）程序合法（经民主程序制定并公示）；
     （3）执行合理（罚款金额与损失程度、员工收入匹配）。
     示例：某公司规定“损坏设备赔偿原价并罚款500元”，若设备价值1000元且员工月工资3000元，罚款500元可能被认定合法；但若设备价值100元，罚款500元则显失公平。

4. 实务建议

   • 对单位：
     
     • 优先通过赔偿解决损失，罚款需谨慎；
       
     • 完善规章制度，明确赔偿与罚款的适用情形及标准；
       
     • 保留员工过错证据（如监控、操作记录）。
       
   • 对员工：
     
     • 核实单位制度是否合法公示；
       
     • 拒绝不合理罚款（如超过月工资20%）；
       
     • 若被违法处罚，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

总结：单位能否“又赔偿又罚款”需结合具体情形判断，核心在于制度合法性、过错程度及处罚合理性。如有争议，建议根据实际情况进一步分析。