结论：医院普通职工被局机关纪委送往市纪委调查是否合法，需根据具体情况判断，包括调查的启动程序、调查权限以及是否遵循了相关法律法规的规定。以下从多个角度进行分析：
一、调查启动程序的合法性
初步调查与立案：
- 纪委在接到举报或发现线索后，通常会进行初步调查，以核实线索的真实性和可靠性。如果初步调查认为有必要进一步调查，纪委将按照规定程序立案。
- 合法性判断：如果局机关纪委在初步调查后，认为医院普通职工存在违纪违法行为，且符合立案条件，那么启动调查程序是合法的。
调查权限的行使：
- 纪委的调查权限通常限于其管辖范围内的党员干部和公职人员。对于非党员干部或非公职人员，纪委的调查权限可能受到限制。
- 合法性判断：如果医院普通职工是党员干部或公职人员，且其违纪违法行为属于局机关纪委的管辖范围，那么局机关纪委有权将其送往市纪委进行调查。但如果该职工非党员干部或非公职人员，或者其违纪违法行为不属于局机关纪委的管辖范围，那么这一行为可能涉嫌违法。
二、调查过程中的合法性
调查手段的合法性：
- 纪委在调查过程中，必须遵守法律法规的规定，不得采取非法手段获取证据或侵犯被调查人的合法权益。
- 合法性判断：如果局机关纪委在调查过程中，遵循了法律法规的规定，没有采取非法手段，那么调查过程是合法的。
被调查人的权利保障：
- 被调查人在调查过程中享有陈述、申辩、申诉等权利。纪委应当保障被调查人的这些权利，不得剥夺或限制。
- 合法性判断：如果局机关纪委在调查过程中，充分保障了医院普通职工的陈述、申辩、申诉等权利，那么调查过程是合法的。
三、特殊情况下的合法性判断
跨部门或跨地区调查：
- 在某些情况下，纪委可能需要跨部门或跨地区进行调查。这通常需要上级纪委的批准或协调。
- 合法性判断：如果局机关纪委在将医院普通职工送往市纪委调查前，已经获得了上级纪委的批准或协调，那么这一行为是合法的。
紧急情况下的调查：
- 在紧急情况下，为了防止证据灭失或违纪违法行为进一步扩大，纪委可能需要在未获得完整程序批准的情况下先行调查。但事后必须及时补办相关手续。
- 合法性判断：如果局机关纪委在紧急情况下先行将医院普通职工送往市纪委调查，并事后及时补办了相关手续，那么这一行为在特定条件下可以视为合法。
四、建议与后续行动
- 对于医院普通职工：如果认为自己被非法调查或权益受到侵犯，可以向上级纪委或相关部门投诉举报，并寻求法律援助。
- 对于局机关纪委：在调查过程中应严格遵守法律法规的规定，确保调查程序的合法性和正当性。同时，应充分保障被调查人的合法权益，避免引发不必要的法律纠纷。
总结：医院普通职工被局机关纪委送往市纪委调查是否合法，需根据具体情况判断。如果调查程序合法、调查手段合法、被调查人权利得到保障，且符合跨部门或跨地区调查、紧急情况下的调查等特殊条件，那么这一行为是合法的。否则，可能涉嫌违法。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。