医疗机构签发死亡证的填写责任人是负责救治的执业医师或负责调查的执业（助理）医师。具体来说：

1. 医疗机构内死亡：

   • 在医院、妇幼保健院、乡镇卫生院、社区卫生服务中心等医疗机构死亡的人员，由诊治医生作出诊断并逐项认真填写《死亡证明》。
   • 院前急救过程中死亡的（包括出诊医生到现场已死亡、到达医院时已死亡、院前急救过程中死亡、院内诊疗过程中死亡），由院前急救医生负责填写《死亡证明》，并加盖填写医生所在医疗机构公章。

2. 在家死亡：

   • 对于在家、养老机构等正常死亡的人员，家属（法定监护人）需携带相关材料到死亡地点所属的乡镇卫生院（社区卫生服务中心）申报死亡，并由具备执业医师（含助理）资格的医生根据提供的材料、病历资料、居民健康档案以及向家属询问等方式，对死者死亡原因进行调查并进行死因推断，然后填写《死亡证明》。

综上所述，无论是医疗机构内死亡还是在家死亡，填写《死亡证明》的责任人均为具备相应资格的执业医师或执业（助理）医师。他们根据死者的具体情况和相关规定，负责准确、完整地填写《死亡证明》。