核心结论：司机压死狗狗后逃跑，被追上后的赔偿问题需根据具体情况确定责任与赔偿范围，主要涉及民事侵权赔偿，若存在故意或重大过失可能涉及刑事责任（但一般以民事赔偿为主）。以下分情况说明：

1. 民事侵权赔偿的认定与范围

• 责任认定：根据《民法典》第1245条，饲养动物被车辆碾压致死，若司机存在过错（如未尽安全驾驶义务、违规驾驶等），需承担侵权责任；若狗狗未拴绳或突然冲入车道，饲养人可能承担部分责任（按过错比例分担）。
• 赔偿范围：包括狗狗的市场价值（需提供购买凭证、品种证明等）、饲养成本（如疫苗、食物等合理支出）、精神损害抚慰金（若符合《民法典》第1183条“严重精神损害”条件，但实践中宠物精神损害赔偿支持较少）。
• 逃跑行为的影响：司机逃跑可能被认定为“逃逸”，加重其过错程度，法院可能酌情提高赔偿比例（如从70%提高至90%）。

2. 刑事责任的可能性（极端情况）

• 交通肇事罪：若司机违反交通法规（如超速、酒驾）导致狗狗死亡，且情节严重（如多次逃逸、造成其他财产损失），可能构成《刑法》第133条交通肇事罪，但实践中因压死宠物入罪的案例极少。
• 故意毁坏财物罪：若司机明知压死狗狗后逃跑，且狗狗价值较高（如纯种犬、名贵犬），可能涉嫌《刑法》第275条故意毁坏财物罪（立案标准为5000元以上），但需证明司机存在故意。

3. 实务建议

• 饲养人：立即报警并保留现场证据（如监控、目击者、狗狗照片、购买凭证），通过交警部门认定事故责任，协商不成可起诉至法院要求赔偿。
• 司机：若已逃跑，建议主动联系饲养人协商赔偿，避免因逃逸被行政处罚（如罚款、扣分）或承担更高民事责任；若对责任有异议，可通过法律途径解决。

提示：具体赔偿金额需结合狗狗价值、双方过错程度、证据充分性等综合判断，建议根据实际情况进一步提供细节以便精准分析。