起诉行政复议机关的情形主要出现在复议机关未依法履行其职责或复议决定违法，且该情形对当事人的合法权益造成了实际侵害时。具体来说，可以从以下几个角度进行详细分析：
一、复议机关不作为的情形
复议机关未依法受理复议申请：
- 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，行政复议机关在收到行政复议申请后，应当在五日内进行审查，对符合规定的应当予以受理。若复议机关未依法受理复议申请，且未说明理由，或者无正当理由逾期不作出受理决定的，申请人有权对此提起行政诉讼，要求复议机关履行其法定职责。
复议机关未依法作出复议决定：
- 复议机关在受理复议申请后，应当在法定期限内作出复议决定。若复议机关逾期未作出复议决定，或者无正当理由拖延作出复议决定的，申请人同样有权对此提起行政诉讼，要求复议机关尽快作出复议决定或确认其不作为违法。
二、复议决定违法的情形
复议决定维持原行政行为，但原行政行为违法：
- 若复议机关在复议过程中，未对原行政行为的合法性进行全面审查，或者审查后仍决定维持原行政行为，而原行政行为实际上存在违法情形的，申请人可以对复议机关提起行政诉讼，要求撤销复议决定，并请求法院对原行政行为的合法性进行审查。
复议决定改变原行政行为，但改变后的行为仍违法：
- 复议机关在复议过程中，有权对原行政行为进行变更或撤销。然而，若复议机关改变后的行政行为仍然存在违法情形，或者复议机关在改变原行政行为时未依法履行其审查职责，导致改变后的行为违法，申请人同样可以对复议机关提起行政诉讼。
复议机关未依法履行告知义务：
- 在复议过程中，复议机关有义务告知申请人相关的权利、义务和复议程序等事项。若复议机关未依法履行告知义务，导致申请人的合法权益受到损害的，申请人也可以对复议机关提起行政诉讼，要求其承担相应的法律责任。
三、特殊情形下的起诉
复议前置情形下的起诉：
- 在某些特定情形下，如自然资源所有权、使用权确认案件、纳税争议案件等，当事人必须先申请行政复议，对复议决定不服的才能提起行政诉讼。若在这些复议前置的情形下，复议机关未依法履行其职责或复议决定违法，当事人可以在对复议决定不服后，依法向人民法院提起行政诉讼。
复议机关作为共同被告的情形：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，在复议机关维持原行政行为的情形下，作出原行政行为的行政机关和复议机关是共同被告。若复议机关改变原行政行为的，复议机关是被告。在这些情形下，若复议机关的行为违法或未依法履行其职责，当事人可以依法对复议机关提起行政诉讼。
法律建议
- 保留证据：在提起行政诉讼前，当事人应尽可能收集并保留与复议申请、复议决定相关的所有证据材料，以便在诉讼过程中证明自己的主张。
- 咨询专业律师：虽然此处我作为专业律师已经给出了全面的分析，但具体案件的处理仍需根据具体情况进行。因此，建议当事人在提起行政诉讼前咨询专业律师，以便获得更具体、更专业的法律建议。
- 注意诉讼时效：根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，当事人提起行政诉讼的时效期间为六个月。因此，当事人在发现复议机关未依法履行其职责或复议决定违法后，应及时提起行政诉讼，以免错过诉讼时效。
综上所述，起诉行政复议机关的情形主要出现在复议机关未依法履行其职责或复议决定违法时。当事人在遇到这些情形时，应依法维护自己的合法权益，及时提起行政诉讼。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。