当起诉人（这里假设您指的是被起诉人，因为通常“起诉人”是提起诉讼的一方，而问题关注的是被起诉方死亡的情况）在诉讼过程中死亡时，法律程序的处理方式会因案件类型（民事诉讼或刑事诉讼）以及案件所处的具体阶段而有所不同。以下是对此问题的详细解答：
一、民事诉讼中的处理
在民事诉讼中，若被起诉人死亡，诉讼程序将受到一定影响，具体处理方式如下：
诉讼中止与继承人参与：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，若一方当事人死亡，诉讼将中止，等待其继承人表明是否参加诉讼。
- 继承人若愿意参加，诉讼将继续进行，且继承人在继承遗产的范围内承担责任。例如，若甲起诉乙要求偿还借款，而乙在诉讼过程中死亡，法院会中止诉讼，待乙的继承人表明意愿后，若继承人愿意继承并参与诉讼，则诉讼继续，继承人需在继承乙的遗产范围内偿还借款。
诉讼终结的情形：
- 若被起诉人无遗产且无应承担义务的人，法院将裁定终结诉讼。例如，若丙起诉丁支付合同违约金，但丁死亡且无任何遗产及义务人，则诉讼将终结。
财产纠纷与遗产处理：
- 在涉及财产纠纷的案件中，若被起诉人有遗产，诉讼可能继续，此时被告将变为遗产管理人或继承人。案件将围绕遗产的分配和处理展开。
二、刑事诉讼中的处理
在刑事诉讼中，被起诉人（即犯罪嫌疑人或被告人）死亡的处理方式更为严格，且因案件阶段不同而有所差异：
侦查阶段：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，犯罪嫌疑人死亡的，不追究刑事责任，已追究的应撤销案件。例如，若盗窃案嫌疑人在抓捕前因病死亡，公安机关将撤销案件。
审查起诉阶段：
- 在审查起诉阶段，若被告人死亡，检察机关应作出不起诉决定。检察机关会全面审查案件情况，包括被告人的死亡原因、时间、地点等关键事实，并根据已查明的案件事实和认定的证据材料作出决定。
- 尽管被告人死亡，但若检察院认为案件存在需要提起公诉的特殊情形（如涉及公共利益、其他嫌疑人等），会在确认被告人死亡的事实后，向法院提出公诉意见，并详细说明被告人已经死亡的情况。此时，法院将依据检察院的公诉意见和提供的证据材料进行审理，但通常这种情况下会终止审理或宣告无罪（若证据不足或确认无罪）。
审判阶段：
- 在审判阶段，若被告人死亡，法院的处理方式取决于能否确认被告人无罪。若能确认无罪，则判决宣告无罪；若不能确认无罪，则终止审理。例如，若诈骗案被告人在庭审过程中死亡，且经审理查明无罪，则法院会宣判无罪；若证据不足或无法确认无罪，则终止审理。
三、综合建议
- 及时报告与提供证明：无论民事还是刑事诉讼，一旦得知被起诉人死亡，应尽快向法院或相关机关报告并提供相关证明（如死亡证书）。
- 关注案件类型与阶段：民事诉讼中关注继承人是否参与及遗产情况；刑事诉讼中关注案件所处阶段及证据情况。
- 咨询专业律师：每个案件具有独特性，建议咨询专业律师以获取更具体、针对性的法律意见。
综上所述，被起诉人死亡后的法律程序处理需综合考虑多种因素，包括案件类型、遗产情况、案件阶段等。通过遵循相关法律法规及原则性规定，并结合实际案例进行具体分析，可确保法律程序的公正、公平和合法进行。