行政处罚决定书下发后，催告书的下达时间通常是在行政处罚决定所确定的履行期限届满后，且在行政机关申请法院强制执行前的合理时间内进行，一般为催告书送达十日后当事人仍未履行义务时。以下是对此问题的详细分析：
一、一般情况下的催告时间
履行期限届满：
- 行政处罚决定书会明确载明当事人履行义务的期限，如缴纳罚款的期限。当事人应在此期限内履行义务。
- 若当事人在该期限内未履行义务，且未提出行政复议或行政诉讼，则执法机关有权开始催告程序。
催告书的下达：
- 根据《中华人民共和国行政强制法》第五十四条的规定，行政机关在申请人民法院强制执行前，必须催告当事人履行义务。这一催告行为通过下达催告书实现。
- 催告书应明确告知当事人履行义务的期限（通常为催告书送达后10日内）、履行义务的方式、涉及金钱给付的金额和给付方式，以及当事人依法享有的陈述权和申辩权。
催告期与强制执行申请：
- 催告书送达十日后，若当事人仍未履行义务，行政机关则有权向所在地有管辖权的人民法院（若执行对象是不动产，则为不动产所在地法院）申请强制执行。
二、特殊情况下的催告时间
延期或分期缴纳罚款：
- 若当事人因经济困难确需延期或分期缴纳罚款，可根据《中华人民共和国行政处罚法》第六十六条的规定提出申请。
- 此申请经行政机关批准后，罚款的缴纳期限可以暂缓或分期进行。在这种情况下，催告书的下达时间会相应顺延至延期或分期缴纳期限届满之后。
即时强制等特殊执行程序：
- 在某些紧急情况下，为保障公共安全等特殊利益，行政机关可能依据法律或行政法规的特殊规定，采取即时强制等特殊的执行程序，而无需经过常规的催告后申请强制执行流程。但这种情况较为特殊，且需严格符合法律规定的条件。
三、法律建议与注意事项
及时履行义务：
- 当事人收到行政处罚决定书后，应认真对待并积极履行义务，以避免可能的法律后果，如催告、强制执行等。
关注催告书内容：
- 若收到催告书，当事人应仔细阅读其内容，了解履行义务的期限、方式等关键信息，并按照要求履行义务。
行使陈述权和申辩权：
- 若当事人对催告书内容有异议或认为存在不合理之处，可在催告期内依法行使陈述权和申辩权，向行政机关提出自己的意见和理由。
寻求法律帮助：
- 若对行政处罚决定或催告书有疑问或需要进一步的法律帮助，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。
综上所述，行政处罚决定书下发后催告书的下达时间并非固定不变，而是根据具体情况和法律规定进行确定。当事人应密切关注行政处罚决定书和催告书的内容，及时履行义务或行使相关权利，以维护自己的合法权益。