结论：儿子欠银行信用卡的钱，并不影响其继承父亲遗产的资格，但继承遗产后，儿子有义务在继承遗产的实际价值范围内清偿被继承人（即父亲）的债务，包括信用卡欠款（如果该欠款属于父亲债务的话）；若信用卡欠款为儿子个人债务，则儿子仍可继承遗产，但需自行处理个人债务问题。以下为详细分析：
一、继承资格不受个人债务影响
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理。继承权是法律赋予继承人的一种权利，它并不因继承人的个人债务而受到影响。因此，儿子欠银行信用卡的钱，并不影响其继承父亲遗产的资格。
二、继承遗产后的债务清偿责任
若信用卡欠款为父亲债务：
- 根据《民法典》第一千一百六十一条：“继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。”
- 这意味着，如果儿子继承了父亲的遗产，那么他需要在继承遗产的实际价值范围内，清偿父亲生前所欠的债务，包括信用卡欠款。如果遗产价值不足以清偿全部债务，儿子没有义务用自己的个人财产去清偿超出遗产价值部分的债务，除非他自愿这样做。
若信用卡欠款为儿子个人债务：
- 儿子的个人债务与其继承父亲的遗产是两个独立的法律关系。儿子继承遗产后，其个人债务不会因继承而自动转移到遗产上，也不会影响遗产的分配。
- 但是，儿子需要自行处理其个人债务问题，包括与银行协商还款计划、承担逾期还款的法律责任等。如果儿子因个人债务问题被银行起诉或采取其他法律措施，这可能会影响他的信用记录和个人财务状况，但不会直接影响他继承父亲遗产的资格或遗产的分配。
三、实际操作中的注意事项
- 遗产分割前的债务清偿：在实际操作中，如果父亲有多个继承人，且遗产尚未分割，那么在分割遗产前，应当先清偿父亲的债务。如果遗产不足以清偿全部债务，那么继承人需要按照法定顺序和比例分担债务。
- 保留必要证据：为了避免未来可能出现的纠纷，儿子在继承遗产时，应当保留好相关证据，如遗嘱、遗产清单、债务清单等。这些证据将有助于证明儿子的继承权和遗产的实际价值，以及需要清偿的债务范围。
- 咨询专业律师：由于遗产继承和债务清偿问题可能涉及复杂的法律关系和财产权益，因此建议儿子在处理这些问题时咨询专业律师的意见。律师可以提供专业的法律建议和指导，帮助儿子更好地维护自己的合法权益。
最后，如果您在处理遗产继承和债务清偿问题时遇到任何疑问或困难，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。