结论：公司规定考勤制度后员工考勤违纪，公司能否罚款以及能否开除员工，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从罚款和开除两个角度进行详细分析：
罚款角度
合法性分析：
- 一般情况：根据《劳动合同法》及相关法律法规，公司并非行政机关或司法机关，不具有罚款的行政处罚权。因此，公司直接对员工进行罚款，在法律上通常是不被允许的。
- 例外情况：如果公司规章制度中明确规定了考勤违纪的处罚措施，且这些措施不违反法律法规的强制性规定（如不涉及克扣工资至低于当地最低工资标准等），同时该规章制度已经过民主程序制定并公示或告知员工，那么公司可能依据规章制度对员工进行一定的经济处罚，但这种处罚通常不是罚款，而是扣除部分绩效奖金或采取其他非罚款形式的处罚。
建议：
- 公司应避免直接使用“罚款”一词，而是采用“扣除绩效奖金”、“警告”、“记过”等更符合法律法规的表述。
- 确保规章制度的内容合法、合理，且经过民主程序制定并公示或告知员工。
开除角度
合法性分析：
- 严重违纪：如果员工的考勤违纪行为严重到违反公司规章制度，且该规章制度明确规定了此类行为属于严重违纪，公司有权依据规章制度解除与员工的劳动合同，即开除员工。但前提是规章制度必须合法、合理，且已经过民主程序制定并公示或告知员工。
- 法律依据：根据《劳动合同法》第三十九条，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
程序要求：
- 通知工会：公司在开除员工前，应事先将理由通知工会。如果公司未设立工会，则需通过其他民主方式（如职工代表大会）进行告知或征求意见。
- 书面通知：公司应向员工发出书面解除劳动合同的通知，并明确解除的理由和依据。
建议：
- 公司在制定规章制度时，应明确界定哪些行为属于严重违纪，并确保这些规定合法、合理。
- 在开除员工前，公司应确保已经履行了所有必要的程序，如通知工会、收集证据等。
- 公司应保留好所有相关证据，以备在劳动仲裁或诉讼中证明其解除劳动合同的合法性。
总结与进一步建议：公司不能随意对考勤违纪的员工进行罚款，但可以根据合法、合理的规章制度采取其他经济处罚措施。同时，如果员工的考勤违纪行为严重到违反公司规章制度，公司有权依据规章制度开除员工，但必须确保规章制度的合法性和合理性，并履行必要的程序。如果公司在这方面存在疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。