结论：非婚生子女被送养他人后，一般情况下对其亲生母亲没有赡养义务，但也存在例外情况。
分析说明：
一般情况：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，收养关系一旦成立，养子女与生父母以及其他近亲属间的权利义务关系，因收养关系的成立而消除。这意味着，非婚生子女在被合法送养后，他们与亲生母亲之间的法律上的权利义务关系，包括赡养义务，原则上已经终止。
- 赡养义务通常基于血缘关系或法律拟制的血缘关系（如收养关系）而产生。在送养的情况下，养子女与养父母之间形成了新的法律上的亲子关系，而养子女与生父母之间的亲子关系则依法解除。
例外情况：
- 虽然一般情况下送养后的非婚生子女对亲生母亲没有赡养义务，但如果存在特殊情况，如送养行为本身存在违法或不当之处（如未依法办理收养手续、送养人存在虐待或遗弃行为等），或者亲生母亲在送养后仍然对子女进行了实质性的抚养和教育，那么可能在一定程度上影响赡养义务的认定。但这种情况较为复杂，需要具体案件具体分析。
- 另外，如果送养后的非婚生子女与亲生母亲之间形成了事实上的抚养关系（尽管这种情况较为罕见），那么根据法律的精神和原则，子女也可能对亲生母亲承担一定的赡养义务。然而，这种事实上的抚养关系需要得到法律的认可和确认。
法律建议：
- 对于亲生母亲而言，如果希望送养后的子女仍然对自己承担赡养义务，应当在送养前充分考虑并咨询专业律师的意见，确保送养行为的合法性和正当性。同时，也可以尝试与收养家庭达成书面协议，明确双方的权利和义务，包括赡养义务的相关内容。
- 对于送养后的非婚生子女而言，如果对亲生母亲是否应当承担赡养义务存在疑问或争议，建议咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助。律师可以根据具体情况分析案件事实、适用法律条款，并给出合理的法律建议。
行动建议：
- 如果您或您身边的人遇到了类似的问题，建议直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律分析和建议。
- 在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，避免情绪化的决策和行为。同时，也要尊重法律和法院的判决结果，依法维护自己的合法权益。