被告委托代理人虚构身份参与调解，当事人可以申请再审。以下从不同角度对此问题进行分析：

一、法律依据与再审条件

根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条的规定，当事人的申请符合下列情形之一的，人民法院应当再审：……（九）违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的；……（十三）审判人员审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的。虽然该条款未直接提及委托代理人虚构身份参与调解的情形，但若虚构身份导致调解程序违法，剥夺了当事人的辩论权利或影响了审判的公正性，则可能构成再审的法定理由。

此外，如果委托代理人虚构身份的行为严重影响了调解的公正性和合法性，例如通过虚构身份获取了不正当的利益，或者导致调解结果显失公平，那么这种行为可能被视为违反了调解的基本原则和法律规定，从而构成再审的充分理由。

二、虚构身份参与调解的后果

1. 调解协议的效力：如果委托代理人虚构身份参与调解，并达成了调解协议，那么该调解协议的效力可能会受到质疑。因为调解协议的达成应当基于双方当事人的真实意思表示，如果一方当事人的身份是虚构的，那么调解协议可能无法反映其真实意愿，从而影响其效力。
2. 对审判程序的影响：虚构身份参与调解可能破坏了调解程序的公正性和合法性，进而影响了整个审判程序的公正性。如果这种行为被证实，那么它可能构成对审判程序的严重干扰，从而成为申请再审的理由。

三、申请再审的具体操作

1. 收集证据：当事人需要收集能够证明委托代理人虚构身份参与调解的证据，如身份证明、调解记录、证人证言等。这些证据将用于支持当事人的再审申请。
2. 提交再审申请：当事人应当在知道或应当知道调解协议存在瑕疵之日起一定期限内（具体期限根据法律规定和案件情况而定），向有管辖权的人民法院提交再审申请书，并附上相关证据材料。
3. 等待法院审查：人民法院将对当事人的再审申请进行审查，并根据审查结果决定是否启动再审程序。如果法院认为再审申请有理由，将裁定再审；否则，将裁定驳回再审申请。

四、注意事项

1. 及时行动：当事人应当在发现委托代理人虚构身份参与调解后尽快采取行动，以免错过申请再审的期限。
2. 专业咨询：由于再审程序涉及复杂的法律问题和程序要求，当事人可以寻求专业律师的帮助，以确保再审申请的合法性和有效性。

总结来说，被告委托代理人虚构身份参与调解，如果这种行为影响了调解的公正性和合法性，或者剥夺了当事人的辩论权利，那么当事人可以依法申请再审。在申请再审过程中，当事人需要收集证据、提交再审申请书，并等待法院的审查结果。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。