结论：在终审判决后，子女确实有可能因高中费用等必要开支而另外起诉要求增加抚养费，但需满足一定条件。
详细分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条：“离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成的，由人民法院判决。前款规定的协议或者判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或者判决原定数额的合理要求。”这一条款为子女在必要时要求增加抚养费提供了法律依据。
“必要时”的认定：
- “必要时”通常指的是子女因生活、教育、医疗等必要开支的增加，导致原定抚养费无法满足其实际需求的情况。高中教育作为子女成长过程中的重要阶段，其费用（如学费、书本费、生活费等）的增加，往往被视为“必要时”的一种情形。
起诉增加抚养费的条件：
- 子女需要证明原定抚养费确实无法满足其高中阶段的教育和生活需求。这可能需要提供相关证据，如高中学费单据、生活费用支出证明等。
- 子女需要证明增加抚养费是合理的，即增加的费用与子女的实际需求相匹配，且父母双方的经济状况能够承担。
实际操作中的考虑：
- 在起诉前，子女或其直接抚养人可以尝试与另一方父母进行协商，看是否能够通过协商达成增加抚养费的协议。这不仅可以节省诉讼成本和时间，还能维护双方的关系。
- 如果协商无果，子女或其直接抚养人可以向法院提起诉讼，要求增加抚养费。在诉讼过程中，需要提供充分的证据来支持自己的主张。
可能的法律后果：
- 如果法院认定子女确实需要增加抚养费，且另一方父母有能力承担，那么法院可能会判决增加抚养费。
- 如果另一方父母确实无力承担增加的抚养费，或者子女无法提供充分的证据证明其需要增加抚养费，那么法院可能会驳回子女的诉讼请求。
建议：
- 在考虑起诉增加抚养费前，建议先与另一方父母进行协商，看是否能够达成协议。
- 如果协商无果，且确实需要增加抚养费，那么建议收集充分的证据来支持自己的主张，并向法院提起诉讼。
- 在整个过程中，建议咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。
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