教师因赌博被公安行政处罚500元，是否会被开除，需结合具体情况分析，不能一概而论。以下从不同角度进行详细分析：
一、行政处罚与开除的关联性
行政处罚的性质：
- 公安对教师因赌博行为作出的500元行政处罚，属于行政处罚范畴，主要目的是对违法行为进行惩戒，而非直接决定其职业命运。
开除的法律依据：
- 开除公职通常依据《中华人民共和国公职人员政务处分法》或相关事业单位人事管理条例。这些法规规定了公职人员因违法违纪行为可能受到的处分种类，包括警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等。
- 对于教师这一特定职业，还可能受到《中华人民共和国教师法》等相关法规的约束。
二、是否会被开除的具体分析
情节严重性：
- 情节较轻：如果教师的赌博行为情节较轻，未造成严重后果，且教师本人认错态度良好，积极改正，那么根据相关法规，可能不会直接给予开除处分。而是可能给予警告、记过等较轻的处分。
- 情节严重：如果教师的赌博行为情节严重，如多次赌博、赌博金额较大、在校园内或利用职务之便进行赌博等，且造成恶劣影响，那么根据相关法规，教师可能面临开除的处分。
单位规章制度：
- 除了法律法规外，教师所在单位（如学校）的规章制度也可能对赌博行为有具体规定。如果规章制度中明确规定了赌博行为将导致开除，且该规章制度不违反法律法规的强制性规定，那么教师可能因违反单位规章制度而被开除。
教师身体状况：
- 题目中提到教师处于肺癌晚期，这一身体状况虽然令人同情，但通常不会直接影响其是否因赌博行为而被开除。然而，在决定处分时，单位可能会考虑教师的身体状况和实际工作能力，以及处分对其生活的影响，但这并不构成免除处分的法定理由。
三、法律建议
了解具体规定：
- 教师应首先了解自己所在单位（如学校）的规章制度以及相关法律法规对赌博行为的具体规定，以便明确自己的行为可能面临的后果。
积极改正错误：
- 如果教师确实存在赌博行为，应积极改正错误，向单位承认错误并表达改正的决心。这有助于减轻处分或避免更严重的后果。
寻求法律援助：
- 如果教师认为自己的处分决定不公正或存在争议，可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并依法维护自己的合法权益。
综上所述，教师因赌博被公安行政处罚500元是否会被开除，需结合情节严重性、单位规章制度以及教师身体状况等多方面因素进行综合分析。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。