要证明外甥和舅舅的关系，可以通过以下几种方式来进行，这些方式都是基于权威机构或文件的证明，具有法律效力：

一、线上办理亲属关系证明（以“吉事办”为例）

如果您身处吉林省或该服务已在全国推广，您可以通过手机上的“吉事办”App来便捷地办理亲属关系证明。具体步骤如下：

1. 打开“吉事办”App：您可以通过搜索“亲属关系证明”进入服务，或者在应用服务里找到“户政(治安)”，然后点击“亲属关系证明”进入。

2. 身份认证：通过“人脸认证”方式进行身份认证，确保是您本人在操作。

3. 输入信息并提交：进入页面后，输入您舅舅或外甥的姓名和身份证号，然后点击“提交”。

4. 查看证明：提交后，您即可查看本人的亲属关系证明。该证明有效期为3个月，电子档有“吉林公安网上开具证明”水印，并已加盖户籍派出所电子印章，可直接使用，也可打印成纸质版使用，具有同等效力。

二、线下办理亲属关系证明

如果您选择线下办理，或者您所在地区不支持线上办理，您可以前往户籍地派出所进行办理。通常需要提交以下材料：

• 居民身份证：您和您舅舅或外甥的身份证。
• 户口簿：能够显示您和您舅舅或外甥关系的户口簿。

三、使用其他权威证明文件

除了上述两种方式，您还可以使用以下权威证明文件来证明外甥和舅舅的关系：

1. 出生医学证明：如果外甥的出生医学证明上记载了母亲（即舅舅的姐妹）的信息，且该信息与舅舅的户籍信息相符，可以作为证明。

2. 亲属关系公证书：您可以前往公证机构办理亲属关系公证书，该公证书具有法律效力，可以证明您和您舅舅的关系。

3. 历史户籍档案：如果业务受理民警通过翻阅历史户籍档案能够证明您和您舅舅的关系，也可以由业务受理民警出具证明。

4. 亲子鉴定书：在特定情况下，如需要确认生物学上的亲属关系，您可以通过有资质的亲子鉴定机构进行亲子鉴定，并出具亲子鉴定书作为证明。

综上所述，证明外甥和舅舅的关系可以通过线上或线下办理亲属关系证明，或者使用出生医学证明、亲属关系公证书、历史户籍档案、亲子鉴定书等权威证明文件。您可以根据自己的实际情况选择最适合的方式来进行证明。