结论：员工不肯提供学信网的学历证明，公司不可以直接无偿解雇，是否解雇及解雇方式需根据具体情况判断。

分析说明：

1. 学历证明与劳动合同的关系：

   • 学历证明通常是员工入职时公司要求提供的一项重要资料，用于验证员工的学历背景是否符合岗位要求。
   • 如果员工在入职时已经提供了学历证明，且该证明真实有效，那么公司后续再要求提供学信网的学历证明可能缺乏合理依据，除非公司有合理的理由怀疑原学历证明的真实性。
   • 如果员工在入职时未提供学历证明，或者公司有合理理由怀疑其学历真实性，那么公司有权要求员工提供学信网的学历证明以验证其学历。

2. 员工拒绝提供学历证明的处理：

   • 如果员工无正当理由拒绝提供学信网的学历证明，且该证明对于公司验证其学历真实性是必要的，那么公司可以依据公司规章制度或劳动合同中的相关条款，对员工进行相应的处理，如警告、记过、降薪等。
   • 但直接无偿解雇员工可能构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的相关规定，公司解除劳动合同必须符合法定条件，如员工严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等。员工拒绝提供学历证明，并不直接构成这些法定条件。

3. 合法解雇的情形：

   • 如果员工拒绝提供学历证明，且该证明是公司验证其学历真实性的必要条件，同时公司已经给予员工合理的期限和机会来提供该证明，但员工仍然拒绝提供，且该行为严重影响了公司的正常运营或招聘流程，那么公司可以考虑依据公司规章制度或劳动合同中的相关条款，与员工协商解除劳动合同，或者依据《劳动合同法》中关于“劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的”情形，主张劳动合同无效或部分无效，并据此解除劳动合同。但这种情况下的解雇仍然需要谨慎处理，并确保符合法律程序。

法律建议：

• 公司应首先与员工沟通：了解员工拒绝提供学历证明的具体原因，并尝试通过协商解决问题。
• 审查公司规章制度和劳动合同：确保公司有明确的规章制度或劳动合同条款规定员工必须提供学历证明，并明确拒绝提供的后果。
• 谨慎处理解雇事宜：如果公司决定解雇员工，应确保解雇决定符合法律程序，并准备好相关证据以应对可能的劳动争议。

后续行动：

• 如果公司决定采取进一步行动，如解雇员工或提起劳动争议仲裁，建议公司咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
• 员工也有权就公司的处理决定提出异议或申诉，如果员工认为公司的处理决定侵犯了其合法权益，可以依法维护自己的权益。

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