结论：在小区没有物业的情况下，社区对于遛狗到处拉屎的问题，确实可能负有一定的管理职责，但具体职责范围和程度需根据实际情况和当地法规来判断。以下从多个角度进行分析：
社区管理职责的法律依据
地方性法规与规章：
- 许多地方性法规或规章明确规定了社区或居民委员会在环境卫生、公共秩序等方面的管理职责。例如，一些城市的地方性法规可能要求社区组织居民制定并执行宠物管理公约，对宠物在公共区域的排泄物进行清理等。
- 若当地有此类规定，社区则负有相应的管理职责，包括但不限于组织清理、宣传教育、制定公约等。
《民法典》的相关规定：
- 根据《民法典》中关于相邻关系和公共区域管理的原则，社区作为居民自治组织，有义务维护公共区域的整洁和秩序。
- 虽然《民法典》未直接规定社区对宠物排泄物的具体管理职责，但社区可以基于公共利益和居民共同生活的需要，采取合理措施进行管理。
社区管理职责的实际履行
组织清理：
- 社区可以组织志愿者或雇佣清洁人员对公共区域进行定期清理，包括宠物排泄物。
- 若社区未履行此职责，导致公共区域卫生状况恶化，可能引发居民的不满和投诉。
宣传教育：
- 社区可以通过宣传栏、社区活动等方式，向居民普及宠物管理的知识和法规，提高居民的文明养宠意识。
- 宣传教育是预防宠物排泄物问题的有效手段，有助于减少此类问题的发生。
制定公约：
- 社区可以组织居民制定宠物管理公约，明确宠物在公共区域的行为规范，包括排泄物的清理要求。
- 公约的制定和执行需要居民的广泛参与和支持，社区在其中起到组织和协调的作用。
居民的责任与义务
文明养宠：
- 居民作为宠物的饲养者，有义务文明养宠，包括及时清理宠物在公共区域的排泄物。
- 居民应自觉遵守社区制定的宠物管理公约和相关法规，共同维护公共区域的整洁和秩序。
监督与举报：
- 居民有权对不文明养宠行为进行监督和举报，包括宠物排泄物未清理的情况。
- 居民的监督和举报有助于社区及时发现和解决问题，维护公共利益。
特殊情况下的处理
- 若社区确实因资源有限或管理不善等原因无法有效履行管理职责，居民可以向相关部门（如街道办事处、城管部门等）反映情况，寻求帮助和支持。
- 在极端情况下，如宠物排泄物问题严重影响到居民的正常生活，居民还可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。
建议：若您所在的小区存在此类问题，建议首先与社区沟通，了解社区的管理计划和措施，并积极参与社区组织的清理和宣传教育活动。同时，作为居民，您也应自觉遵守相关规定，文明养宠，共同维护公共区域的整洁和秩序。若问题无法得到有效解决，您可以进一步向我咨询相关法律问题，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。