当赠品存在虚假宣传的情况时，商家或相关责任主体确实可能会面临一系列的处罚，这些处罚涵盖了民事责任、行政责任，甚至在极端情况下还可能涉及刑事责任。下面我将为您详细解析这些处罚措施：
一、民事责任
赔偿损失：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》第五十五条，如果商家对赠品进行了虚假宣传，导致消费者受到欺诈，消费者有权要求商家按照购买商品价款或接受服务费用的三倍进行赔偿。如果赔偿金额不足五百元，则按五百元进行赔偿。
- 若赠品的虚假宣传还导致了消费者其他直接经济损失，如因使用赠品导致的损害，商家还需承担相应的赔偿责任。
退货退款：
- 消费者在发现赠品存在虚假宣传时，有权要求退还购买商品或服务的费用，并可能要求退还赠品或获得折价补偿。
二、行政责任
罚款：
- 根据《中华人民共和国反不正当竞争法》和相关广告法规，商家若因赠品虚假宣传被认定为不正当竞争行为或发布虚假广告，将面临罚款。罚款金额根据违法行为的严重程度而定，可能从数万元到数百万元不等。
- 例如，《中华人民共和国广告法》第五十五条规定，发布虚假广告的，市场监督管理部门将责令停止发布广告、消除影响，并处以广告费用三至五倍的罚款。若广告费用无法计算或明显偏低，则处二十万元至一百万元的罚款。情节严重的，还可能面临吊销营业执照等更严厉的处罚。
没收违法所得：
- 市场监管部门在调查过程中，若发现商家通过虚假宣传获得了非法利益，将依法予以没收。
停业整顿：
- 在情节严重的情况下，商家可能被责令暂停营业进行整改，直至符合相关法律法规的要求。
吊销许可证或营业执照：
- 对于多次违法或违法行为严重的商家，市场监管部门有权吊销其相关的经营许可证或营业执照，即取消其经营资格。
三、刑事责任
- 在极少数情况下，如果商家的虚假宣传行为构成了犯罪，如诈骗罪，商家或个人可能需要承担刑事责任，面临有期徒刑、拘役、罚金等刑事处罚。
赠品虚假宣传与“假一赔三”
- 值得注意的是，在符合法定条件的情况下，赠品虚假宣传确实可以适用“假一赔三”的规定。即如果商家对赠品进行了虚假宣传，且该宣传影响了消费者的购买决策，导致消费者合法权益受损，消费者有权要求商家按“假一赔三”的原则进行赔偿。
维权途径与建议
- 如果您作为消费者遇到了赠品虚假宣传的问题，首先可以尝试与商家沟通协商，要求按“假一赔三”进行赔偿。
- 如果协商无果，您可以向消费者协会或其他调解组织寻求帮助，或者向市场监督管理部门等相关行政部门进行投诉。
- 若问题仍未得到解决，您还可以考虑通过仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
综上所述，赠品虚假宣传是一种严重的违法行为，商家应严格遵守相关法律法规，确保宣传内容的真实性和准确性。同时，消费者也应充分了解自身权益，通过合法途径维护自身利益。