在以下几种情况下，合同双方中的受影响方（或特定情形下的双方）有权请求撤销合同：
基于重大误解订立的合同
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一百四十七条，基于重大误解实施的民事法律行为，行为人有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
- 实例说明：若一方因对合同标的物的性质、规格、数量等关键信息存在重大误解而订立合同，且这种误解直接影响了其权利义务，那么该方有权请求撤销合同。例如，甲误将赝品画作当成真品与乙签订买卖合同，甲因重大误解有权请求撤销合同。
一方以欺诈手段订立的合同
- 法律依据：依据《中华人民共和国民法典》第一百四十八条，一方以欺诈手段，使对方在违背真实意思的情况下实施的民事法律行为，受欺诈方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
- 实例说明：若一方故意告知对方虚假情况或隐瞒真实情况，诱使对方作出错误意思表示而订立合同，受欺诈方有权请求撤销。例如，二手车交易中，卖方故意隐瞒车辆事故史，买方因此签订的购车合同可撤销。
第三人实施欺诈行为订立的合同
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一百四十九条，第三人实施欺诈行为，使一方在违背真实意思的情况下实施的民事法律行为，对方知道或者应当知道该欺诈行为的，受欺诈方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
- 实例说明：若第三人实施欺诈行为，使一方在违背真实意思的情况下订立合同，且合同相对方知道或应当知道该欺诈行为，受欺诈方同样有权请求撤销。例如，中介机构隐瞒房屋质量问题促成交易，若卖方知情，买方有权撤销合同。
一方或第三人以胁迫手段订立的合同
- 法律依据：依照《中华人民共和国民法典》第一百五十条，一方或者第三人以胁迫手段，使对方在违背真实意思的情况下实施的民事法律行为，受胁迫方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
- 实例说明：若一方或第三人通过威胁或强迫手段，使对方产生恐惧心理并违背真实意思订立合同，受胁迫方有权请求撤销。例如，甲以伤害乙家人相威胁迫使乙签订合同，乙有权撤销。
显失公平的合同
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一百五十一条，一方利用对方处于危困状态、缺乏判断能力等情形，致使民事法律行为成立时显失公平的，受损害方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
- 实例说明：若一方利用对方处于危困状态或缺乏判断能力，导致合同成立时双方权利义务明显违反公平原则，受损害方有权请求撤销。例如，乙因家人重病急需用钱，甲趁机低价收购乙的珍贵古董，该交易显失公平，乙有权撤销。
撤销权的行使与限制：
- 行使方式：合同撤销权需通过请求人民法院或仲裁机构来实现，不能直接自行撤销合同。
- 行使期限：当事人自知道或者应当知道撤销事由之日起一年内应行使撤销权；对于重大误解的情形，期限为九十日。若当事人受胁迫，则自胁迫行为终止之日起一年内应行使撤销权。无论何种情形，自民事法律行为发生之日起五年内未行使撤销权的，撤销权消灭。
法律建议：
- 面对上述可撤销合同的情形，当事人应及时采取行动，确保在法定期限内行使撤销权，避免权利失效。
- 在行使撤销权前，建议收集并保留相关证据，如合同文本、沟通记录、交易凭证等，以便在必要时证明合同的撤销事由。
- 若对合同撤销权的具体行使或相关法律问题存在疑问，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。