楼道出现老鼠，物业确实有义务去处理。这一义务既来源于物业服务合同的具体约定，也基于维护小区公共环境的法定职责。以下从多个角度为您详细分析：

一、物业服务合同的约定

在大多数物业服务合同中，都会明确规定物业对小区公共区域的卫生维护、害虫防治等具体服务条款。如果合同中有此类约定，那么物业就有责任按照合同内容，采取投放鼠药、设置捕鼠器具等措施来治理老鼠问题。这是物业服务企业基于合同关系应尽的义务。

二、维护小区公共环境的法定职责

1. 基本职责：物业服务企业负责小区的环境管理，这自然包括对小区内环境卫生的维护和提升。老鼠作为影响环境卫生和居民生活的害虫，其存在不仅破坏了小区的整洁度，还可能传播疾病，威胁居民健康。因此，从维护小区公共环境整洁、安全的角度出发，物业有义务对老鼠问题进行处理。

2. 法律依据：根据《物业管理条例》的相关规定，物业管理活动包括维护物业管理区域内的环境卫生和相关秩序。物业服务企业应当按照物业服务合同的约定提供相应的服务。这些法律条文为物业处理老鼠等问题提供了明确的法律依据。具体来说：

   • 《物业管理条例》第二条：本条例所称物业管理，是指业主通过选聘物业服务企业，由业主和物业服务企业按照物业服务合同约定，对房屋及配套的设施设备和相关场地进行维修、养护、管理，维护物业管理区域内的环境卫生和相关秩序的活动。
   • 《物业管理条例》第三十五条：物业服务企业应当按照物业服务合同的约定，提供相应的服务。物业服务企业未能履行物业服务合同的约定，导致业主人身、财产安全受到损害的，应当依法承担相应的法律责任。

三、物业公司的实际操作与责任

1. 定期检查与整治：物业公司应当定期开展小区环境的检查和整治工作，及时发现并处理老鼠等害虫问题，确保小区环境的持续改善。

2. 沟通与协作：物业公司还应加强与业主的沟通与合作，共同关注小区卫生环境，鼓励业主及时反馈老鼠等问题，以便物业能够迅速响应并采取有效措施。

3. 具体措施：在灭鼠工作中，物业公司可以采取多种措施，如封堵建筑物孔洞、定期清理垃圾、修剪绿化带以减少老鼠栖息地、安装防鼠设施以及寻求专业灭鼠公司的帮助等。

4. 责任承担：如果物业公司未能履行其义务，导致业主人身或财产安全受到损害，那么物业公司应当依法承担相应的法律责任。

四、特殊情况说明

值得注意的是，如果老鼠是出现在业主的私人房屋内部，且并非由于公共区域的问题蔓延导致的，物业一般不承担直接进入业主房屋处理老鼠的义务。但在这种情况下，物业仍应为业主提供相关的建议和指导，比如告知防治方法、提供有资质的灭鼠服务公司联系方式等，以协助业主解决问题。

综上所述，楼道出现老鼠时，物业有明确的义务去处理这一问题。如果物业未能履行其义务，您可以先与物业进行沟通协商，要求其尽快采取措施。如果协商无果，您可以向相关部门投诉或寻求法律途径解决。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。