如果被告人对终审刑事判决不服并希望通过再审程序寻求救济，可以按照以下详细步骤进行：

一、了解再审的法律依据和条件

法律依据： 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，当事人及其法定代理人、近亲属对已经发生法律效力的判决、裁定，认为确有错误的，有权向人民法院或者人民检察院提出申诉，申请再审。

申请再审的条件：

1. 有新的证据：证明原判决、裁定认定的事实确有错误，且该错误可能影响定罪量刑。
2. 证据问题：据以定罪量刑的证据不确实、不充分、依法应当予以排除，或者证明案件事实的主要证据之间存在矛盾。
3. 法律适用错误：原判决、裁定适用法律确有错误。
4. 诉讼程序违法：违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判。
5. 审判人员违法：审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为。

二、准备再审申请材料

1. 再审申请书：

   • 写明申请人的基本情况（姓名、性别、年龄、民族、职业、住址等）。
   • 原生效判决的基本情况（法院名称、判决时间、判决结果等）。
   • 申请再审的事由和理由，详细阐述原判决存在的错误及依据。
   • 具体请求，如请求撤销原判决、改判或发回重审等。

2. 相关证据材料：

   • 新的证据，如新的证人证言、物证、书证等。
   • 原审判决存在错误的证明材料，如证据复印件、鉴定意见等。

3. 其他必要材料：

   • 身份证明，如身份证复印件。
   • 授权委托书（如有代理人），写明代理人的基本情况及代理权限。
   • 律师事务所函及律师执业证复印件（如有律师代理）。

三、提交再审申请

1. 向作出生效判决的人民法院提出：

   • 一般情况下，应向作出原生效判决的人民法院或其上一级人民法院提出再审申请。
   • 提交申请时，需将准备好的申请材料递交至法院立案庭，由立案庭进行形式审查。

2. 向人民检察院提出申诉：

   • 也可以向同级人民检察院或上级人民检察院提出申诉，请求检察机关抗诉启动再审程序。
   • 申诉时，需提交申诉书及相关证据材料。

四、等待审查和处理

1. 法院审查：

   • 人民法院会对再审申请进行审查，符合再审条件的，会裁定再审；不符合条件的，会驳回申请。
   • 审查过程中，法院可能会要求申请人补充材料或进行询问。

2. 检察院监督：

   • 人民检察院收到申诉后，会进行审查，认为需要提出抗诉的，会向人民法院提出抗诉，启动再审程序。
   • 检察院也可能建议法院自行再审。

五、参与再审程序

1. 出庭应诉：

   • 如果再审申请被接受，申请人需按照法院通知的时间和地点参加庭审。
   • 庭审过程中，应遵守法庭纪律，尊重审判人员和其他当事人。

2. 提供证据和辩论：

   • 在再审过程中，申请人可以提供新证据，发表辩论意见，维护自身合法权益。
   • 应围绕再审申请的事由和理由进行陈述和辩论。

六、注意事项

1. 时限要求：

   • 申请再审应在判决、裁定发生法律效力后的特定时间内提出，一般为两年，但可能存在例外情况（如发现新的证据等）。
   • 务必在规定的期限内提出再审申请，逾期可能丧失申请再审的权利。

2. 法律援助：

   • 如有困难，可申请法律援助，获得专业律师的帮助。
   • 法律援助机构会为符合条件的申请人提供法律咨询、代理、刑事辩护等无偿法律服务。

3. 遵守法律程序：

   • 在整个再审过程中，应严格遵守法律法规，不得采取非法手段干扰司法秩序。
   • 应积极配合法院和检察院的工作，按时参加庭审、提供证据等。

示例说明： 假设甲因盗窃罪被判刑，但其发现新的证人能够证明自己案发时不在现场。甲可以按照以下步骤申请再审：

1. 收集新证人的证言及相关证据（如证人身份证复印件、联系方式、证言笔录等）。
2. 撰写再审申请书，详细说明原判决认定事实错误的理由及新证据的情况。
3. 将申请书及证据材料提交给原审法院或其上一级法院立案庭。
4. 如法院未予受理或驳回申请，可向同级人民检察院或上级人民检察院提出申诉，请求抗诉。
5. 等待法院或检察院的审查和处理结果，并按照通知参加再审庭审。