物业私自安装充电桩在地下车库业主购买的车位旁边，这一行为是否合法，需分情况讨论：

1. 若物业未经业主同意擅自安装：

   • 不合法性基础：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，业主对其建筑物专有部分享有占有、使用、收益和处分的权利。地下车位若属于业主的专有部分，业主有权自主决定其用途，包括是否安装充电桩。物业未经业主同意擅自安装，侵犯了业主的专有部分使用权。
   • 可能后果：业主有权要求物业停止侵害、恢复原状，并可能要求物业承担因此造成的损失赔偿责任。

2. 若物业经业主同意后安装：

   • 合法性条件：在得到业主明确同意的情况下，物业安装充电桩的行为可能合法，但还需满足其他条件。首先，需确保地下车库的电力容量足够，且符合相关的安全标准和规范，包括电气线路的设计、施工以及消防设施的配备等。其次，安装前通常需要向供电部门提交申请，并提供相关资料进行审核，审核通过后方可进行安装施工。此外，部分地区还可能要求办理相关的建设许可手续。
   • 物业管理规定：即使业主同意，物业在安装充电桩时仍需遵守物业管理区域内的相关规定和要求，如不得影响其他业主的正常生活和使用、不得破坏公共设施等。

3. 特殊情况考虑：

   • 车位产权归属：如果地下车位属于全体业主共有或开发商所有，而非特定业主的专有部分，那么物业在安装充电桩前需要经过相关权利人的同意，如业主大会或开发商的授权。
   • 公共利益与个体权利的平衡：在新能源汽车推广的大背景下，充电桩的建设符合公共利益。然而，这并不意味着可以无视个体业主的权利。物业在安装充电桩时，应充分尊重业主的意愿，通过沟通协调达成共识，避免引发不必要的纠纷。

法律建议：

• 对于业主而言，若发现物业未经同意擅自安装充电桩，应及时与物业沟通，要求其停止侵害并恢复原状。若沟通无果，可考虑通过法律途径维护自身权益。
• 对于物业而言，在安装充电桩前应充分征求业主意见，确保符合相关法律法规和物业管理规定。同时，应选择具有相应资质的专业施工单位进行安装和施工，确保工程质量和安全。

总结：物业私自安装充电桩在地下车库业主购买的车位旁边是否合法，取决于是否得到业主同意以及是否满足其他相关条件。在处理此类纠纷时，应充分考虑业主的专有部分使用权、公共利益与个体权利的平衡以及相关法律法规和物业管理规定的要求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。