结论：事业单位法人证书的单位名称变更后，公章和银行账户名称通常需要同步变更，但具体需根据实际情况和规定分情况处理。以下是详细说明：

1. 公章变更
   根据《国务院关于国家行政机关和企业事业单位社会团体印章管理的规定》（国发〔1999〕25号），事业单位名称变更后，原印章需在规定期限内缴回制发机关，并重新刻制新名称的公章。

   • 必要性：公章是单位对外开展活动的法定凭证，名称不一致可能导致合同、文件等法律文书效力瑕疵，甚至引发纠纷。
     
   • 流程：需持变更后的《事业单位法人证书》、上级主管部门批准文件等材料，到公安机关备案后重新刻制公章，并销毁旧章。

2. 银行账户名称变更
   根据《人民币银行结算账户管理办法》（中国人民银行令〔2003〕第5号），单位名称变更后，需在5个工作日内向开户银行提出变更申请，并提交新《事业单位法人证书》、公章等材料。

   • 必要性：银行账户名称与法人证书不一致可能导致账户无法正常使用（如转账、支付等），甚至被银行冻结或注销。
     
   • 流程：填写变更申请表，提供新证书、公章、法定代表人身份证等材料，银行审核通过后更新账户信息。

3. 特殊情况说明

   • 分支机构或内设机构：若变更仅涉及分支机构名称，需根据其是否具有独立法人资格决定是否变更公章和账户。
     
   • 历史遗留问题：若原名称在部分合同或文件中仍有效（如长期合作协议），可与对方协商补充协议明确名称变更事宜，但公章和账户仍建议尽快更新以避免风险。

建议：名称变更后，单位应同步办理公章和银行账户变更手续，确保法律文件和财务活动的合规性。如有疑问或需进一步协助，可直接向我咨询。