结论：超过法定办案期限且程序严重违法的行政处罚被撤销后，行政机关在符合法定条件和程序的前提下，是可以重新作出行政处罚的。但这一过程必须严格遵循法律规定，确保处罚的公正、合法和有效性。以下是对此问题的详细分析：

可以重新作出行政处罚的情况

1. 违法事实清楚但处罚程序或适用法律错误

   • 具体情形：若行政机关在作出行政处罚时存在程序违法（例如未依法告知当事人相关权利、未按规定进行调查取证、超过法定办案期限等）或者适用法律错误（如对应当适用甲法条的行为错误地适用了乙法条），导致原行政处罚被撤销，但只要违法事实清楚且证据确凿，行政机关在纠正程序错误或正确适用法律后，可以重新作出行政处罚。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第七十条，行政行为存在适用法律、法规错误或违反法定程序等情形之一的，人民法院有权判决撤销或部分撤销，并可以判决被告重新作出行政行为。同时，《中华人民共和国行政处罚法》也强调了行政机关应依法行使职权，保障当事人的合法权益，若原处罚因程序违法被撤销，且当事人确实存在违法行为，行政机关在纠正程序问题后，可重新按照法定程序进行处罚。
   • 实例说明：如某环保案件中，环保部门因未按规定举行听证且超过法定办案期限而程序违法，导致处罚被撤销。之后，环保部门在依法举行听证并纠正办案期限问题后，可根据同一违法事实重新作出处罚。

2. 出现新的证据或情况

   • 具体情形：在原行政处罚作出后，若发现新的证据足以改变原认定的事实，或出现新情况需要对当事人进行处罚，行政机关可以基于新证据或新情况重新作出行政处罚。
   • 法律逻辑：新证据或新情况的出现可能改变案件的性质或严重程度，因此行政机关有必要重新审视并根据实际情况作出相应处罚。
   • 实例说明：如某食品药品监管案件中，处罚后发现新证据证明药店销售假药的范围和危害程度更重，监管部门可依据新证据重新作出处罚。

不可以重新作出行政处罚的情况

1. 超过追诉时效

   • 具体情形：若违法行为已过追诉时效，即使原行政处罚因程序违法被撤销，行政机关也不能再对该行为进行处罚。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政处罚法》及相关规定，行政处罚存在追诉时效的限制，一般为二年，特殊情况下延长至五年。
   • 实例说明：五年前的无照经营行为，若已超过追诉时效，行政机关不能再次处罚。

2. 原违法事实不存在或证据不足

   • 具体情形：若经重新调查发现原认定的违法事实不存在，或证据不足以支持重新处罚，行政机关则不能进行处罚。
   • 法律依据：根据《行政处罚法》及行政诉讼法的相关规定，行政处罚必须基于充分的事实和证据。若主要证据不足，行政机关不能重新作出与原处罚相同或类似的行政处罚。
   • 实例说明：如某市场监管案件中，因检测报告存在严重瑕疵导致处罚被撤销，若监管部门不能补充有效证据，则不能重新作出处罚。

行政机关的义务与程序要求

• 行政机关的义务：行政机关应建立健全对行政处罚的监督制度，加强对行政处罚的监督检查，确保处罚的合法性和公正性。若发现行政处罚有错误，应主动改正。在重新作出处罚决定时，必须确保新的决定符合法定程序，并基于新的或更充分的证据。
• 程序要求：行政机关在重新作出行政处罚时，应重新履行法定程序，包括调查取证、告知当事人相关权利、听取当事人陈述和申辩等。同时，应充分考虑信赖保护原则，对因原错误处罚可能造成的损失给予补偿或赔偿。

总结与建议：超过法定办案期限且程序严重违法的行政处罚被撤销后，行政机关在符合法定条件和程序的前提下可以重新作出处罚决定。但这一过程必须严格遵循法律规定，确保处罚的公正、合法和有效性。如果您或他人遇到类似情况，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。