结论：嫂子的小孩被公公的狗咬了，公公作为动物饲养人或管理人，在一般情况下是需要承担赔偿责任的，但具体责任划分和赔偿金额需根据实际情况来确定。

法律背景与详细分析：

1. 动物饲养人或管理人的责任：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，动物饲养人或者管理人应当对其饲养的动物造成的他人损害承担侵权责任。这意味着，如果公公是狗的饲养人或管理人，且狗咬伤了嫂子的小孩，公公原则上需要承担赔偿责任。

2. 责任免除或减轻的情形：

   • 如果能够证明损害是因被侵权人（即嫂子的小孩）故意或者重大过失造成的，动物饲养人或者管理人可以不承担或者减轻责任。例如，如果小孩故意挑逗或攻击狗，导致被咬伤，那么公公的责任可能会相应减轻或免除。

3. 赔偿范围与金额：

   • 赔偿范围通常包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
   • 赔偿金额的具体计算需根据实际损失和证据来确定。例如，医疗费应根据医疗机构出具的医药费、住院费等收款凭证，结合病历和诊断证明等相关证据确定。

4. 实际操作建议：

   • 收集证据：首先，应收集相关证据，如医疗记录、照片、视频、证人证言等，以证明小孩被狗咬伤的事实和损失情况。
   • 协商与调解：在证据充分的情况下，可以尝试与公公进行协商，寻求和解或调解，以达成赔偿协议。
   • 法律途径：如果协商无果，可以向人民法院提起诉讼，要求公公承担赔偿责任。在诉讼过程中，应提供充分的证据来支持自己的主张。

特殊情况考虑：

• 如果公公并非狗的唯一饲养人或管理人，或者存在其他共同饲养人或管理人，那么赔偿责任可能会根据各自的责任比例进行分担。
• 如果狗是在被他人非法控制或管理的情况下咬伤小孩的，那么实际控制或管理狗的人可能需要承担赔偿责任。

总结与建议：

嫂子的小孩被公公的狗咬伤后，公公作为动物饲养人或管理人原则上需要承担赔偿责任。但具体责任划分和赔偿金额需根据实际情况来确定。建议嫂子首先收集相关证据，然后与公公进行协商或调解，如果无法达成一致，可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。