根据我国现行法律规定，因打鸟被判处监外执行（通常指缓刑）的人员，在符合特定条件下可以担任村支部书记，但存在严格限制条件。具体分析如下：

1. 法律资格限制层面
   根据《中国共产党基层组织选举工作条例》及《村民委员会组织法》相关规定，村支部书记候选人需满足”政治素质过硬、遵纪守法、廉洁奉公”等基本条件。其中”遵纪守法”要求候选人不得存在正在服刑或被剥夺政治权利的情形。对于曾被判处缓刑的人员，需重点审查：
   

• 缓刑考验期是否已满（通常为1-5年）
  
• 考验期内是否遵守《刑法》第75条关于缓刑人员的行为限制（如报告活动情况、遵守会客规定等）
  
• 是否因故意犯罪被处罚（过失犯罪影响较小）
  
• 是否存在其他违反党纪政纪的行为
  

1. 现实操作层面
   即使法律资格审查通过，仍需经过：
   

• 党组织考察：需通过支部党员大会或上级党委的政审，重点考察悔改表现及现实表现
  
• 村民认可度：根据《村民委员会组织法》第11条，村民选举委员会需对候选人资格进行审查，部分地区可能通过村民代表会议形成否定性意见
  
• 特殊情形处理：若打鸟行为涉及非法狩猎珍贵濒危野生动物（触犯《刑法》第341条），可能构成生态领域重大违法记录，影响任职资格
  

1. 典型案例参考
   2021年某省案例中，村民张某因非法狩猎被判缓刑3年，考验期内表现良好且主动参与生态修复，考验期满后经支部党员大会全票通过担任村支部书记。但同年另一案例中，李某因同样罪名被判缓刑期间再次违规狩猎，被取消候选人资格。

建议行动步骤：

1. 确认具体罪名及判决情况（是否涉及生态保护特别规定）
   
2. 核查缓刑考验期是否已满及考验期表现证明
   
3. 主动向所在党组织提交《候选人资格审查申请书》
   
4. 做好村民沟通工作，重点说明悔改情况及服务承诺
   

如需进一步分析具体案件情况，可提供判决文书编号或详细案情，我将结合《刑法》《基层组织工作条例》等规定为您做专项解读。