结论前置：在父亲留下6万遗产且子女均放弃继承给母亲的情况下，母亲将成为这6万遗产的唯一继承人。以下从法律背景、具体操作及可能涉及的问题等角度进行详细分析：
一、法律背景
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承开始后，继承人放弃继承的，应当在遗产处理前，以书面形式作出放弃继承的表示；没有表示的，视为接受继承。在您描述的情况下，子女均放弃继承，那么遗产将由其他继承人继承。若父亲未立遗嘱且母亲是唯一的第一顺序继承人（即父亲的配偶，且父亲无其他子女、父母已去世等），则母亲将继承全部遗产。
二、具体操作
放弃继承的声明：子女需要以书面形式作出放弃继承的声明，并签字确认。这份声明是证明子女放弃继承权的重要法律文件。
遗产的分配：在子女放弃继承后，母亲作为唯一的第一顺序继承人，将继承这6万遗产。如果父亲还有其他第一顺序继承人（如其他子女、父母等），且他们未放弃继承，则遗产将按照法定继承的份额进行分配。但在您描述的情况下，假设母亲是唯一的第一顺序继承人，那么她将继承全部遗产。
遗产的接收与管理：母亲在继承遗产后，应妥善保管和管理这笔财产。如果遗产涉及银行存款等，母亲可以凭借继承权证明文件（如继承权公证书、法院判决书等）到银行办理相关手续，将遗产转入自己的账户。
三、可能涉及的问题及建议
遗产的债务问题：如果父亲在去世前有未清偿的债务，那么遗产在分配前应先用于清偿债务。子女在放弃继承时，也应明确了解这一点，避免因遗产债务问题产生纠纷。
遗产的税务问题：根据相关法律法规，继承遗产可能需要缴纳一定的税费。母亲在继承遗产后，应了解并遵守相关税务规定，按时缴纳应纳税款。
遗产的保管与增值：母亲在继承遗产后，应妥善保管遗产，并考虑如何使其增值。如果遗产是现金形式，可以考虑将其存入银行或进行其他投资；如果遗产是房产等不动产，可以考虑出租或出售等方式实现其价值。
家庭关系的处理：在处理遗产问题时，家庭成员之间应保持沟通与理解，避免因遗产分配问题产生矛盾。如果家庭成员之间对遗产分配有争议，可以寻求法律途径解决。
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